2014年度前期講義「幾何学特論II $or A$」

目次

授業の概要・目的

授業計画と内容

• ベクトル束・主束上の接続・曲率
• 特性類
• ディラック作用素
• 半自己双対接続
• シンプレクティック商と幾何学的不変式論
• モノポール方程式と正則写像
• Nahm方程式とべき零軌道
• Hitchin可積分系

履修要件

成績評価の方法・基準

参考書

4月8日にやったこと

§1. ベクトル束

• 定義の説明
• 局所自明化 $\phi_\alpha: \pi^{-1}(U_\alpha)\to U_\alpha\times\R^r$
• 変換関数 $g_{\alpha\beta} = \phi_\alpha\circ\phi_\beta^{-1}$
• $E_x = \pi^{-1}(x)$ は、ベクトル空間の構造を持つ。
• cocycle条件 $g_{\alpha\beta} g_{\beta\gamma} = g_{\alpha\gamma}$

cocycle 条件は $GL(r,\R)$ の代わりに Lie 群 $G$ に取り替えても意味を持ち、主束が定義される。（詳しくはあとで）

• ベクトル束のファイバー計量の定義
• ファイバー計量が、$\R^r$の標準計量に移されるような局所自明化を取ることができる。
• このとき、変換関数 $g_{\alpha\beta}$ は直交群 $O(r)$ に値を持つ。

一般に、ベクトル束の構造群が $G$ であるとは、変換関数が $G$ に値を持つようにできるときをいう。たとえば、行列式が正の行列の全体を $GL_+(r,\R)$ とすると、 $GL_+(r,\R)$に構造群を持つようなベクトル束は、向きを持つベクトル束にほかならない。

• ベクトル束の切断の定義
• 切断の全体 $\Gamma(E)$ は、$C^\infty(X)$-加群になる。

§2.接続

• 接続 $\nabla$ とは $\Gamma(E)\to \Gamma(E\otimes T^*X)$ であって、ライプニッツ則を満たすもののこと
• 自明束 $E = X\times\R^r$ の場合には、$\nabla = d + A$ （$A$ は、$\mathfrak{gl}(r,\R)$ に値をもつ 1-form） は、接続になる。

4月15日にやったこと

• 逆に $E=X\times\R^r$ のとき任意の接続は $\nabla = d + A$ と書ける。

• $V$ 成分に関しては $C^\infty(X)$-linear
• $\nabla_V(s_1+s_2) = \nabla_V s_1 + \nabla_V s_2$, $\nabla_V (fs) = V(f) s + f \nabla_V s$

• 局所自明化 $E|_{U_\alpha}\cong U_\alpha\times\R^r$ を取り、$\nabla = d + A_\alpha$ と表すことができる。$A_\alpha$ を接続型式という。
• 局所自明化を２つ取ってくると、変換公式 $$A_\beta = g_{\alpha\beta}^{-1} dg_{\alpha\beta} + g_{\alpha\beta}^{-1} A_\alpha g_{\alpha\beta}$$ が成り立つ。ただし $g_{\alpha\beta}$ は変換関数

局所自明化を計量が標準計量になるようにとるとき、接続型式 $A$ は反対称行列になる。

注. 反対称行列の全体は、$O(r)$ のLie環である。（$\mathfrak{so}(r)$ と書く。）

演習問題2. 変換公式 $A_\beta = g_{\alpha\beta}^{-1} dg_{\alpha\beta} + g_{\alpha\beta}^{-1} A_\alpha g_{\alpha\beta}$ において、$g_{\alpha\beta}$ が $O(r)$ に値を持てば、$g_{\alpha\beta}^{-1}dg_{\alpha\beta}$ は、$\mathfrak{so}(r)$ に値をもつ。さらに$A_\alpha$が$\mathfrak{so}(r)$に値を持てば、 $g_{\alpha\beta}^{-1} A_\alpha g_{\alpha\beta}$ も$\mathfrak{so}(r)$に値を持つ。

§3.平行移動

• ベクトル束 $\pi: E\to Y$ の $C^\infty$級写像 $f: X\to Y$ に関する引戻し $f^* E$ の定義
• $E$ 上の接続 $\nabla$ の引き戻し $f^*\nabla = {}^{f^*}\nabla$ を、局所自明化を取り、接続型式を引き戻して定義する。well-defined である。
• $f^* E$の切断 $s$ とは、$s: X\to E$ で、$\pi\circ s = f$ となるものに他ならない。

4月22日にやったこと

命題. 接続 $\nabla$ が、$E$上の計量 $(\ ,\ )$ を保つとき、上の線形同型写像は計量を保つ。

§4. 曲率

定義. ベクトル束 $\pi: E\to X$ とその上の接続 $\nabla$ が与えられたとする。このとき $X$上のベクトル場 $V$, $W$と、$E$の切断 $s$ に対して $$F(V,W) s = \nabla_V\nabla_W s - \nabla_W \nabla_V s - \nabla_{[V,W]}s$$ により、新しい切断 $F(V,W)s$ を定義する。

命題.

• $F(V,W)s = -F(W,V)s$ が成り立つ。
• $F(V,W)s$ は、$V$, $W$, $s$ それぞれの成分に関して、$C^\infty(X)$-線型である。

命題.

• $\nabla = d + A$ と局所表示したとき $$F = dA + A\wedge A = dA + \frac12 [A\wedge A]$$ が成り立つ。
• $g_{\alpha\beta}$ を２つの局所表示に関する変換関数としたとき $$F_\beta = g_{\alpha\beta}^{-1} F_\alpha g_{\alpha\beta}$$ が成り立つ。

$E\to X$ が構造群を$G$に持つベクトル束のとき、接続 $\nabla$ が、接続型 式 $A$ が $G$のLie環 $\mathfrak g$ に値を持つような接続であるとする。 （たとえば、$G=O(r)$ のときは、計量を保つ接続のこと）このとき、$dA$は $\mathfrak g$ に値を持つが、$\frac12[A\wedge A]$ も$\mathfrak g$に値を 持つ。よって、$F$ は$\mathfrak g$に値を持つ二次微分型式である。

演習問題. $\mathfrak g$ を $G$ 上の左不変ベクトル場の全体とみなして, Lie 括弧積を、ベクトル場の括弧積として定める。

1. 左不変ベクトル場 $V$, $W$ の括弧積が、ふたたび 左不変ベクトル場であることを示せ。

2. $G = GL(r,\R)$, $=O(r)$ のとき、行列の括弧積が、このLie括弧積に等しいことを証明せよ。

定義. $\nabla$が平坦接続であるとは、$F=0$となるときをいう。

定理. 平坦接続 $\nabla$ に関する、平行移動は $x$ と $y$ を結ぶ曲線のホモトピー類にしか依存しない。

証明. $c: [0,1]\times [0,1]\to X$ を $x = c(s,0)$ と $y = c(s,1)$とする曲線の族とする。このとき $c$ に沿った切断 $\varphi$ で、$s$ を止めたときに $t$ 方向に平行移動になっていて、 $$\nabla_{\frac{\partial}{\partial t}} \varphi = 0$$ さらに初期値 $\varphi(s,0)$ は、$s$によらずに $\varphi_0\in E_x$ となっている ものを考える。 このとき、$\nabla_{\frac{\partial}{\partial t}} \nabla_{\frac{\partial}{\partial s}} \varphi = \nabla_{\frac{\partial}{\partial s}} \nabla_{\frac{\partial}{\partial t}} \varphi = 0$ から、$\varphi(s,1)$ も $s$ によらずに一定であることが従う。

特に、$X$が単連結の場合には、平行移動によって $E \cong X\times\R^r$ となることが従う。

系. $X$を普遍被覆空間を$\widetilde X$とするとき、基本群の表現 $\pi_1(X)\to GL(r,\R)$ が取れて、 $E$は$\widetilde X\times_{\pi_1(X)} \R^r$と書ける。

§5. 主 $G$ 束と、その上の接続

1. $P$ に $G$ が右から作用する。さらに$X$に自明に作用して、$\pi$は同変。言い換えれば、$\pi(p\cdot g) = \pi(p)$
2. 局所自明化 $\phi_\alpha: \pi^{-1}(U_\alpha)\to U_\alpha\times G$ で、 $\pi$ が第一成分への射影に移され、右辺で$G$成分に右から掛け算で作用させたときに、$G$同変であるものが取れる。

授業では、$p$ の逆写像を考えていたので、右からの作用にするために $g^{-1}$ を 掛けていたので、上よりも複雑になってしまった。訂正する。

さらに、$E$が計量を持つときには、正規直交基底を考えることによって、 同様に、主$O(r)$-束を定めることができる。

とりあえず Lie 群になれるまでは、主 $G$束は、（計量のような）構造をもったベクトル束に対して、構造とコンパチブルな基底の全体からできるものと考えてよく、そのとき $G$は構造を保つ線型変換の全体のなす群である。

5月13日にやったこと

より一般に、$G$の表現 $\rho: G\to GL(N,\R)$ が与えられると、$P$に付随したベクトル束を $P\times_G \R^N$, $(p,v)\sim (pg, \rho(g)^{-1}v)$ によって定義することができる。（証明は、演習問題）

Lie群に関する、簡単な記号

演習問題. 積分曲線が $-\infty < t < \infty$ で解を持つことを、一般の Lie 群の場合で証明せよ。 $\phi_\alpha: \pi^{-1}(U_\alpha)\to U_\alpha\times G$ から変換函数 $g_{\alpha\beta}: U_\alpha\cap U_\beta\to G$ が $$\phi_\alpha\circ\phi_\beta^{-1}(x,g) = (x, g_{\alpha\beta}(x)g)$$ によって定義される。

$v\in\mathfrak g$が $P$上に定義するベクトル場を $v^\#$ で表す。

定義. $P$上の接続とは、$P$上の$\mathfrak g$に値を持つ1-form $\omega$ であって

1. 作用 $\varphi_g: P\to P$ に対して、$\varphi_g^*\omega = Ad(g)^{-1}\omega$を満たす。
2. $v\in\mathfrak g$ に対して $$\omega(v^\#) = v$$ が成り立つ。

演習問題. $\varphi_{g*}(v_p^\#) = \left(Ad(g)^{-1}v\right)_{pg}^\#$を示せ。

これにより、上の二つの条件は compatible である。

次の完全系列 $$0 \to \mathfrak g\cong T_p(P_{\pi(p)}) \to T_p P \to T_{\pi(p)} X \to 0$$ を考える。ただし$\mathfrak g\cong T_p(P_{\pi(p)})$ は、$v$に対して、$v^\#_p$を 対応させる写像である。

このとき、接続の点 $p$ における値 $\omega_p$ について 2の条件は、$T_p P\to \mathfrak g$ という splitting に他ならない。

splitting を与えることは、水平部分空間 $Ker\omega_p\subset T_p P$ を与えることと同じであり、接続とは、水平部分空間を各点$p\in P$ に与え、それが $G$ の作用で移り合っているものである。

自明束 $P = X\times G$ に対して、$i: X = X\times\{ e\} \to P$ として、 $$A = i^*\omega$$ を考えると、$X$上の$\mathfrak g$-valued 1-form になる。

逆に、$A$が与えられたとき、 $$\omega(v\oplus L_{g*}\xi) = Ad(g)^{-1}A(v) + \xi$$ によって、$\omega$を定めることができる。

一般の主$G$束 $P$ に対しては、局所自明化 $\phi_\alpha: \pi^{-1}(U_\alpha)\to U_\alpha\times G$ を取って、上の構成により $U_\alpha$上の$\mathfrak g$-valued 1-form $A_\alpha$ を定めることができる。

このとき変換函数を $g_{\alpha\beta}$とすると $$A_\beta = g_{\alpha\beta}^{-1}d g_{\alpha\beta} + g_{\alpha\beta}^{-1}A_\alpha g_{\alpha\beta}$$ という、ベクトル束の接続の変換公式と同じ公式が成り立つ。

5月20日にやったこと

演習問題. Maurer-Cartan方程式 $$d\omega + \frac12 [\omega\wedge\omega] = 0$$ を、一般のLie群$G$について証明せよ。

主 $G$束 $P$ の局所自明化 $\phi_\alpha: P|_{U_\alpha}\to U_\alpha\times G$ を使い、 $$(\phi_\alpha^{-1})^*\omega = \operatorname{Ad}(g^{-1})A_\alpha + \omega_{MC}$$ とあらわす。$\omega_{MC}$ は、$G$上の MC型式（を $U_\alpha\times G$に第二射影で 引き戻したもの）である。

２つの局所自明化の intersection で、変換関数 $g_{\alpha\beta}: U_\alpha\cap U_\beta\to G$ を取ると、接続型式の変換公式 $$A_\beta = \operatorname{Ad}(g_{\alpha\beta}^{-1}) A_\alpha + \omega_{MC}$$ が成り立つ。これを $\operatorname{Ad}(g_{\alpha\beta}^{-1}) A_\alpha = g_{\alpha\beta}^{-1} A_\alpha g_{\alpha\beta}$, $\omega_{MC} = g_{\alpha\beta}^{-1} d g_{\alpha\beta}$ と表わすと、ベクトル束の接続の変換公式と同じである。

曲率型式を、局所自明化を取って $$F_\alpha = dA_\alpha + \frac12 [A_\alpha\wedge A_\alpha]$$ と定める。変換公式 $$F_\beta = \operatorname{Ad}(g_{\alpha\beta}^{-1}) F_\alpha$$ が成り立つ。

この式は $\{ F_\alpha\}$ が、$P$に付随したベクトル束 $\operatorname{Ad}P = P\times_{\operatorname{Ad}}\mathfrak g$ に値をもつ2-formであることを意味する。

これを接続の曲率型式といい、$F$であらわす。

演習問題. $F \equiv 0$と水平部分空間 $\operatorname{Ker}\omega_p$ が、分布として可積分 であることが同値であることを示せ。

局所自明化を取らない定義として $$\Omega = d\omega + \frac12 [\omega\wedge\omega]$$ を考える。

もとの定義と比べるために、局所自明化を取って $\Omega$ を計算すると $$\Omega = \operatorname{Ad}(g^{-1})( dA + \frac12 [A\wedge A]) = \operatorname{Ad}(g^{-1})(F)$$ となる。この式から、$\Omega$ を与えることと $F$ を与えることは等価である ことが分かる。 （$i: X\times\{e\}\to X\times G$ で、$\Omega$を引き戻したものが $F$ であり、逆に $F$ から変換性を使って $\Omega$ が再構成できる。）

Bianchi恒等式

命題. 1. $d_A\circ d_A = [F_A\wedge\bullet]$

2. $d_A F_A = 0$.

5月27日にやったこと

§6. 特性類

命題1. $d f(F_A) = 0$

これは、基本的に、Bianchi恒等式と, $f$ の $G$ 不変性から従う。

演習問題. 証明の途中で使った式 $$\left.\frac{d}{dt}\right|_{t=0}\operatorname{Ad}(\exp t\eta)\xi = [\eta,\xi]$$ を一般のLie群の場合に示せ。

命題2. $f(F_A)$ の定めるコホモロジー類 $[f(F_A)]\in H^{2m}(X,\R)$ は、接続 $\omega$ のとり方によらない。

$\omega_1$, $\omega_0$ を2つの接続とし、これをつなげて $\omega_t = \omega_0 + t B$ （$B = \omega_1 - \omega_0$）とおくと、 $$\varphi = \int_0^1 f(B,F_t,\dots,F_t) dt$$ によって $f(F_1) - f(F_0) = d(m\varphi)$ と表すことができるので、結論が従う。

演習問題. 曲率形式 $\Omega$ を用いて、$f(F_A)$ を定義せよ。

例として、det からできる Pontrjagin類や、pfaffian からできるEuler類、複素行列 の det からできる Chern 類を述べた。

位相幾何を用いた定義との関連、特に naturality と Whitney の和公式について述べた。

§7. Riemann幾何の初歩の復習

• $TX$上の接続 $\nabla$ に対して、$T(V,W) = \nabla_V W - \nabla_W V - [V,W]$ は、テンソルである。（証明は、演習問題）
• Levi-Civita接続（存在は、演習問題）
• 測地線
• $\exp_x: U\to V$ （$U\subset T_x X$は$0$の近傍, $V\subset X$は$x$の近傍）を、$\exp_x(v) = c(1)$ で定義する。ただし、$c$ は、$t=0$ で $x$ を、速度ベクトル$v$で出発する測地線である。
• normal coodinate
• normal coodinateでは、$\nabla \frac{\partial}{\partial x_i} = 0$ が、座標系の中心の $x$ で成立する。

6月3日にやったこと

• 外積代数の空間に、内積が定義できること（well-defineであることは、演習問題）
• Hodge の star 作用素 $\ast\Lambda^p T^*_xX\to \Lambda^{n-p} T^*_xX$ を $$\alpha\wedge\ast\beta = g(\alpha,\beta) \textrm{vol}_g$$ によって定義する。
• $\ast \theta^{i_1}\wedge\dots\wedge\theta^{i_p} = \operatorname{sgn}\left(\begin{array}{cccccc}1&{\dots}&{p}&{p+1}&{\dots}&n\\{i_1}&\dots&{i_p}&{j_1}&\dots&{j_{n-p}}\end{array}\right) \theta^{j_1}\wedge\dots\wedge \theta^{j_{n-p}}$ （証明は, 演習問題）
• $g(\ast\alpha,\ast\beta) = g(\alpha,\beta)$
• $\ast\ast = (-1)^{p(n-p)}$
• $(\ast\alpha)\wedge\beta = (-1)^{p(n-p)}\alpha\wedge(\ast\beta)$ for $\alpha,\beta\in\Lambda^p$
• 外微分作用素$d:\Gamma(\Lambda^p T^*X)\to \Gamma(\Lambda^{p+1}T^*X)$の形式的随伴作用素として $$d^*\alpha = (-1)^{np+1}\ast d \ast d\alpha\qquad \alpha\in\Gamma(\Lambda^{p+1}T^*X)$$ を導入する。
• $\alpha\wedge\ast d\beta - d^*\alpha\wedge\ast\beta = (-1)^{p(n-p)+n-1}d(\ast\alpha\wedge\beta)$ for $\alpha\in\Gamma(\Lambda^{p+1}T^*X)$, $\beta\in\Gamma(\Lambda^p T^*X)$ が成り立つ。
• 訂正. $p(n-p)+n-1$ は、$pn$ の間違いです。
• $x\in X$ のまわりの normal coordinate を $g(\partial/\partial x_i, \partial/\partial x_j) = \delta_{ij} + O(|x|^2)$ を満たすように取るとき $$d^*\alpha = \sum (-1)^k \frac{\partial \alpha_{i_1,\dots,i_p}}{\partial x_{i_k}} dx_{i_1}\wedge\dots\wedge\widehat{dx_{i_k}}\wedge\dots\wedge dx_{i_{p+1}}$$ for $\alpha = \alpha_{i_1,\dots,i_{p+1}} dx_{i_1}\wedge\dots\wedge dx_{i_{p+1}}$

§8. Dirac 作用素

• Clifford 代数の定義
• super-commutative であること
• filtered algebra であり、associated graded が外積代数であること
• $X$上の計量を持った複素ベクトル束 $S$ が、Clifford bundle （Clifford moduleとも）であるとは、$Cl(TX)\to\operatorname{End}(S)$という bundle map があり、
  1. $Cl(T_xX)\to \operatorname{End}(S_x)$が代数の準同型である
  2. $v\in T_x X$ に対応する $\operatorname{End}(S_x)$ の玄は、skew adjoint である。
• $S = \Lambda^* T^*X\otimes\C$ は、 $$v\cdot\alpha = v^*\wedge\alpha - i(v) \alpha$$ によって、Clifford bundle になる。ただし $v^*$ は、$v$ に計量によって対応する $1$-form であり、$i(v)$ は、内部積である。

6月10日にやったこと

このとき、$P/G$ に商位相を入れたものは、$C^\infty$ 級多様体の構造をもち、 射影 $\pi: P\to P/G$ により $P$ は $P/G$ 上の主$G$-束になることを示せ。

• $S$ が Clifford module であるとき、$S$ の接続 $\nabla$ が、Levi-Civita 接続 と compatible であるとは、$\nabla (V\cdot s) = \nabla V\cdot s + V\cdot \nabla s$ が $s\in \Gamma(S)$, $V\in\mathcal X(X)$ について成り立つときをいう。
• $S$ の Dirac operator を $$(D s)(x) = \sum_i e_i\cdot \nabla_{e_i} s$$ により定義する。 ただし、$\{ e_i \}$ は、$X$ の局所的な正規直交枠である。
  • この定義は、正規直交枠のとり方に依存しない。
  • $x$ に関し、$C^\infty$ 級に依存するので、$Ds$ は再び $\Gamma(S)$ の元となる。
• 先週の例 $S = \Lambda^* T^*X\otimes\C$ について、Levi-Civita 接続から誘導される自然な接続は、compatible であり、対応する Dirac operator は $D s = (d + d^*)s$ で与えられる。（証明は演習問題）

（$P$, $\nabla$は、$(X,g)$ 上のK\"ahler多様体の構造である。）

$\C^n$ の $i$倍作用を、同型 $\C^n = \R^{2n}$ を通じて $\R^{2n}$ の線形変換 と考え、$I$ で表す。$I^2 = -1$ が満たされる。$U(n)$ は、$O(2n)$ のうちで $I$と可換なもの $gI = Ig$ の全体である。

このとき $$\R^{2n}\otimes\C = V\oplus\overline{V}\qquad V = \{ v\mid Iv = \sqrt{-1}v\},\quad \overline{V} = \{ v\mid Iv = -\sqrt{-1}v \}$$ と、$\R^{2n}$ の複素化は、$I$ の$\sqrt{-1}$, $-\sqrt{-1}$-固有空間に分解する。 $(x,y)\in \R^{2n}$ を $x+iy\in\C^{2n}$ を同一視 $\R^{2n}=\C^{n}$ による表示とすると、$z = x+iy\in V$, $\overline{z} = x - iy\in\overline{V}$ となる。

$(X,g)$ が K\"ahler 多様体であるとすると $TX$ には、各点ごとに線形変換 $I$ であって、$I^2 = -1$ を満たすものが、自然に定められる。さらに、 Levi-Civita 接続が $P$ から来ていたことにより、$\nabla (IV) = I\nabla V$ （$V\in\mathcal X(X)$）が成り立つ。

さらに、上と同様に固有空間を考えることによって $$TX\otimes\C = T^{1,0}X \oplus T^{0,1} X$$ と分解し、Levi-Civita接続はこの分解を保つ。

微分形式の方でも対応して $$T^*X \otimes \C = \Lambda^{1,0} T^*X\oplus \Lambda^{0,1} T^*X$$ より一般に $$\Lambda^k T^*X\otimes\C = \bigoplus_{p+q=k} \Lambda^{p,q} T^*X$$ と分解する。

外微分作用素 $d: \Gamma(\Lambda^k T^*X)\to \Gamma(\Lambda^{k+1} T^*X)$は $$d = \partial + \overline{\partial}, \quad \partial : \Gamma(\Lambda^{p,q}T^*X)\to\Gamma(\Lambda^{p+1,q}T^*X), \quad \overline{\partial}: \Gamma(\Lambda^{p,q}T^*X)\to\Gamma(\Lambda^{p,q+1}T^*X)$$ と分解する。$(p,q)$ が高々 $1$ しか変わらないことは、$X$が複素多様体であって、正則座標を持つことを使えば明らかであるが、上で注意した $\nabla I = 0$ を使っても確かめられる。

同様に形式的随伴作用素 $d^*$ についても $$d^* = \partial^* + \overline{\partial}^*$$ と分解する。

Prop.
$(X,g)$ は K\"ahler多様体とする。

1. $S = \bigoplus_{q=0}^n \Lambda^{0,q} T^*X$ に Clifford 積を $$v\cdot s= \sqrt{2} (v^{1,0})^*\wedge s - i(v^{0,1}) s)$$ によって定義すると、Clifford module となる。ただし、$v\in T_x X$ を $v = v^{1,0} + v^{0,1}$ （$v^{1,0}\in T^{1,0}_xX$, $v^{0,1}\in T^{0,1}_xX$）と 分解し、$(v^{1,0})^*\in \Lambda^{0,1} T^*_xX$ は （複素線形に拡張された内積について）$\langle (v^{1,0})^*, w\rangle = g(v^{1,0},w)$によって定めた。
2. Levi-Civita 接続が自然に誘導する $S$ の接続は compatible であり、対応する Dirac operator は $\sqrt{2}( \overline\partial + \overline\partial^*)$ となる。

一般の場合に戻る。
Prop.
$$(Ds_1, s_2) - (s_1,Ds_2) = d^*\omega$$ ただし、$\omega$は、$\omega(v) = -(v\cdot s_1,s_2)$ で与えられる $1$-form である。

系. $s_1$ もしくは $s_2$がコンパクト台を持つとき $$\int_X (Ds_1, s_2) vol_g = \int_X( s_1, Ds_2) vol_g$$ が成り立つ。 次にWeitzenb\"ockの公式を紹介する。
$\nabla: \Gamma(s)\to \Gamma(T^*X\otimes S)$ の形式的随伴作用素を $\nabla^*$ で表わす。 $$\nabla s = -\sum_i \langle \nabla_{e_i} s, e_i\rangle$$ で与えられる。$\{ e_i \}$ は局所的な正規直交枠である。証明はExercise
このとき

定理.
$F=\nabla$の曲率$\in\Gamma(\Lambda^2 T^*X \otimes \operatorname{End}(S))$ とする。このとき、$S$の切断 $s$ に対して $$D^2 s = \nabla^* \nabla s + \sum_{i < j} e_i\cdot e_j\cdot F(e_i,e_j)s$$ が成立する。

Exercise${}^*$. $S = \Lambda^* T^*X\otimes \C$ のとき、$D^2 = dd^* + d^* d$ となって、 $p$-form は $p$-form に移されることに注意する。このとき $p=1$ とすると $$D^2 = \nabla^*\nabla + \operatorname{Ric}$$ が成り立つ。ただし、$\operatorname{Ric}$はRicci曲率である。

6月17日にやったこと

§9. 4次元のspin構造と四元数体

• $\mathbb H\ni x = x_0 + x_1 i + x_2 j + x_3 k$ （$x_a\in\R$）に対して、$\overline{x} = x_0 - x_1 i - x_2 j - x_3 k$ と定める。
• $\overline{xy} = \overline{y}\overline{x}$
• $\Re x = x_0$ と定める。
• $\Re x = \Re\overline{x}$, $\Re(xy) = \Re(yx)$
• $(x,y) = \Re(x\overline{y})$ と定める。$\mathbb H = \R^4$と思うと、通常の内積と同じ
• $x\overline{x} = (x,x)$
• $Sp(1) = \{x\in\mathbb H \mid (x,x) = 1\}$ と定める。

区別するために、左から掛ける $Sp(1)$ を $Sp(1)_L$ で表わし、右から掛けるものを $Sp(1)_R$ で表わす。すると、$Sp(1)_L\times Sp(1)_R$ は $\mathbb H$ に $x\mapsto q_L x q_R^{-1}$ によって作用する。したがって、$\mathbb H$ は、 $Sp(1)_L\times Sp(1)_R$の実四次元表現である。

• $\rho: Sp(1)_L\times Sp(1)_R\to SO(4)$ を誘導する。
• $\operatorname{Ker}\rho = \{\pm (1,1)\}$
• Lie環の間の準同型写像 $d\rho:\mathfrak{sp}(1)_L\oplus \mathfrak{sp}(1)_R\to\mathfrak{so}(4)$ は同型。
• $\rho$ は全射。よって $Sp(1)_L\times Sp(1)_R / \{ \pm(1,1)\} \cong SO(4)$.
• $Sp(1)_L\times Sp(1)_R$ は、$SO(4)$ の普遍被覆である。$Spin(4)$ と同型。
• $\ast$ を $\Lambda^2 \R^4$ 上の作用素と考えると、$\mathfrak{sp}(1)_L \cong \Lambda^+$, $\mathfrak{sp}(1)_R \cong \Lambda^-$ は、$\ast$の固有値 $1$, $-1$ の固有空間になる。

• $\mathbb H_{\mathbb H}$ は、左からの掛け算により $Sp(1)_L$ の表現と思い、 ${}_{\mathbb H}\mathbb H$ は右からの掛け算により $Sp(1)_R$ の表現と思う。さらに、 残りの因子は自明に働くものとして、$Sp(1)_L\times Sp(1)_R$ の表現と思う。
• $$\mathbb H\ni x\mapsto \{ \xi \mapsto \overline{\xi} x\}\in \operatorname{Hom}_{\mathbb H}(\mathbb H_{\mathbb H}, {}_{\mathbb H}\mathbb H)$$ と定めることができ、$Sp(1)_L\times Sp(1)_R$の表現としての同型になる。
• 実際、$\xi\overline{q} \mapsto q \overline{\xi} x$ となるから、$\mathbb H$-linear であり、同型であることは容易にチェックできる。また、$q_L x q_R^{-1}$ の行き先は $q_L \xi \mapsto \overline{\xi} x q_R^{-1}$ であるから、$Sp(1)_L\times Sp(1)_R$ 同変も分かる。
• 同様に $$\mathbb H\ni x\mapsto \{ \eta \mapsto - x\overline{\eta} \}\in \operatorname{Hom}_{\mathbb H}({}_{\mathbb H}\mathbb H, \mathbb H_{\mathbb H})$$ と定めると、$Sp(1)_L\times Sp(1)_R$の表現としての同型になる。
• $(\overline{\xi}x,\eta) = (\xi, x\overline{\eta})$ より、2つは、skew adjoint の関係にあることが分かる。
• 2つを合成し、$x\cdot x\in\operatorname{Hom}_{\mathbb H}(\mathbb H_{\mathbb H}, \mathbb H_{\mathbb H})$ を考えると、$-(x,x)\operatorname{id}$ を満たし、従って これにより
• $Cl(\R^4) \to \operatorname{End}(\mathbb H_{\mathbb H}\oplus {}_{\mathbb H}\mathbb H)$ というクリフォード代数の表現ができた。

定義.
4次元Riemann多様体$(X,g)$の上のspin構造とは、$Spin(4)$主束 $P_{Spin(4)}\to X$ であって、$Spin(4)\to O(4)$ に従って誘導される $O(4)$主束 $P_{O(4)} = P_{Spin(4)}\times_{Spin(4)} O(4)$ が、$(X,g)$ の正規直交枠の作る $O(4)$ 主束と同型になるもののことをいう。

6月24日にやったこと

• $(X,g)$ が spin構造をもつとき、$P_{Spin(4)}\times_{Spin(4)} S^\pm$は、$X$上のベクトル束となる。これを単に $S^\pm$ で表わす。
• また、$S = S^+\oplus S^-$ と書く。
• Levi-Civita接続は $S$ 上の接続を自然に導く。
• $S$ は、Clifford module になるので、Dirac operator が定義される。
• $D = \begin{pmatrix} 0 & D^- \\ D^+ & 0 \end{pmatrix}$ と書ける。
• $D^2 = \nabla^*\nabla + \frac{\mathrm{Scalar}}4$ が、この場合のWeitzenbock公式である。(証明は、Exercise）

• $\mathbb H$ を左からの$i$ の掛け算により、複素ベクトル空間とみなす。
• $Sp(1)_L\times Sp(1)_R$ のうち、複素線形なもののなす部分群は $U(1)\times Sp(1)_R$ であり、これは、$U(2)$ の 2:1 の被覆である。
• $S^+$ は、$U(1)\times Sp(1)_R$ の表現として $L\oplus L^*$ と分解する。ただし、 $L$ は $U(1)\ni \lambda\mapsto \lambda\in End(L)$という$U(1)$の表現を $U(1)\times Sp(1)_R$に拡張したもの。
• 今、$\mathbb H\ni x = x_0 + x_1 i + x_2 j + x_3 k \mapsto (x_0 + x_1 i)\oplus (x_2 + i x_3)\in\C^2$ として、複素ベクトル空間と思っていることから、$\lambda\in U(1)\subset Sp(1)_L$ は、$\begin{pmatrix}\lambda & 0 \\ 0 &\lambda\end{pmatrix}$ である。従って、$U(1)\ni\lambda\mapsto \lambda^2\in End(L^{\otimes 2})$ は、 $U(2) = U(1)\times Sp(1)_R/\pm (1,1)$ の表現 $\det: U(2)\to U(1)$ に拡張される。
• つまり、$L$ は、$Spin(4)$の表現としてはwell-definedではあるが、$U(2)$ の表現としては well-defined でない。一方、$L^{\otimes 2}$ は、$U(2)$ の表現として well-defined である。
• $\mathfrak{sp}(1)_L$ を $U(1)$ の表現として書くと、$\underline{\R}\oplus L^{\otimes 2}$ となる。

• Kaehler曲面 $X$ 上では、$L^{\otimes 2}$ に対応するものは、 $\Lambda^{2} T^{1,0}X$ である。$X$ の spin 構造とは、そのルート、すなわち直線束 $L$ であって、$L^{\otimes 2} = \Lambda^{2} T^{1,0}X \cong \Lambda^{0,2} T^*X$となるもののことに他ならない。
• 一つ言い忘れたが、一般に Clifford module $S$ と、計量を持った複素ベクトル束 $E$ が与えられると、$S\otimes E$ は、$S$ の Clifford module の構造を自明に拡張して、再び Clifford module になる。今、K\"ahler曲面であり、かつ spin であるとすると、$S = S^+\oplus S^-$ は、Clifford module になるが、$S\otimes L = S^+\otimes L\oplus S^-\otimes L$ も Clifford moduleになる。これは、$\bigoplus_{q=0}^2 \Lambda^{0,q} T^*X$ という以前にK\"ahler多様体上に構成した Clifford module と同じである。$S$ は, spin構造がないと well-defined ではないが、$S\otimes L$ は、つねに well-defined になる。

§10. anti-self-dual connection

定義.
向き付けられた 4次元Riemann多様体$(X^4,g)$ 上のコンパクト群$G$を構造群とする、主 $G$ 束 $P$ の上の接続 $A$ が、anti-self-dual $半自己双対接続$であるとは、曲率 $F_A\in \Gamma(\Lambda\otimes\operatorname{Ad}P)$ を $\Lambda = \Lambda^+\oplus \Lambda^-$ に従って分解したときに、$F_A \in \Gamma(\Lambda^-\otimes\operatorname{Ad}(P))$ に入るときをいう。

$X = \R^4$ もしくは、より一般的に4次元spin多様体とすると、計量付き複素ベクトル束 $E$ 上の接続 $A$ から、Dirac operator $D_A^\pm$ が作られる。このとき $D_A^\mp D_A^\pm = \nabla_A^*\nabla_A + \text{curvature term}$ とあらわすと、 curvature term は, Levi-Civita 接続から来る項（すなわちスカラー曲率、$\R^4$の場合は $0$）と、$A$ の曲率 $F_A$ の $\Lambda^\pm$ -部分 $F_A^\pm$ の和で与えられる。 特に、$F_A^+ = 0$ であれば、$D_A^- D_A^+$ の curvature term は $0$ であり、｀消滅定理’が成立する。

$X$ が、K\"ahler 曲面であれば、$F_A^+ = 0$ から $F_A^{0,2} = 0$ （したがって、計量を保つことから $F_A^{2,0} = 0$ も）が従う。これは、$\overline\partial_A \circ \overline\partial_A = 0$ を意味し、これは、｀可積分条件’である。今の場合は、 $\overline\partial_A s = 0$ を満たす局所的な切断で、各点ごとに一次独立になっているようなものが取れることを保証し、これは正則ベクトル束の構造を与える、ということを意味する。

7月1日にやったこと

Exercise${}^*$. 正則な切断による局所自明化を、三つのやり方に共通に取ることは、一般にはできないことを説明せよ。$\mathbb H$において、複素関数論の類似を展開しようとすると、そのようなものが出てくるが、類似が自明になってしまうことによる。

$X$ を複素多様体とする。複素ベクトル束 $E$ の切断に働く partial connection $\overline\partial$ $$\overline{\partial} : \Gamma(E)\to \Gamma(\Lambda^{0,1}\otimes E)$$ を通常の Leibnitz則において $df$のところを $\overline\partial f$と変えて定義する。これが可積分であるとは $\overline\partial \circ\overline\partial: \Gamma(E)\to \Gamma(\Lambda^{0,2}\otimes E)$ が $0$ であることをいう。

$E$ に Hermite 計量 $h$ を与える。
定理.（Chern） $E$ 上の接続 $A$ であって、

1. 計量を保つ,
2. $\overline{\partial}_A$ が与えられた $\overline\partial$ に等しい、

$G$ が compact Lie group であるとして、$\mathfrak g$ に $\operatorname{Ad}(G)$-不変な内積を導入し、$\mathfrak g$ 上の不変多項式と思い、対応する特性類を考える。 たとえば $G=U(r)$ のときは、$(\xi,\eta) = -\operatorname{Tr}(\xi\eta)$ であり、対応するのは、第二チャーン類である。

$X$ はコンパクトと仮定する。 上の内積と、微分形式の内積をテンソル積し、曲率の$L^2$内積を考える。$G = U(r)$ のとき具体的には、 $$|| F_A||^2_{L^2} = \int_X (F_A,F_A) vol = -\int_X \operatorname{Tr}(F_A\wedge\ast F_A)$$ である。このとき $F_A = F_A^++ F_A^-$ が直交分解であることに注意して、上は $$- \int_X \left( \operatorname{Tr}(F_A^+\wedge F_A^+) - \operatorname{Tr}(F_A^-\wedge F_A^-)\right)$$ である。これは、$||F_A^+||^2_{L^2} + || F_A^-||^2_{L^2}$ である。 一方 $$-\int_X \operatorname{Tr}(F_A\wedge F_A) = - \int_X \left( \operatorname{Tr}(F_A^+\wedge F_A^+) + \operatorname{Tr}(F_A^-\wedge F_A^-)\right)$$ である。これは、$||F_A^+||^2_{L^2} - ||F_A^-||^2_{L^2}$ である。
後者が位相不変量であり、接続によらないことを思い出すと、$F_A^+=0$ は、 汎関数 $A\mapsto ||F_A||^2_{L^2}$ の最長値を与えることが従う。このように、anti-self-dual connection は、変分法と関係がある。

§11. dimension reduction

$A$ が $x_0$方向の平行移動で不変であったとする。すると $A = A_0(x_1,x_2,x_3) dx_0 + \sum_{i=1}^3 A_i(x_1,x_2,x_3) dx_i$ と分かれ、 最初の成分の $A_0(x_1,x_2,x_3)$ を $\Phi(x_1,x_2,x_3)$ と書き直す。 あとの方は、$\R^3$上の接続なので $A^3$で表わす。

anti-self-dual 接続の方程式は、$\R^3$のHodge star作用素 $\ast^3$ を用いて $$\ast^3 \nabla^{A^3} \Phi = F_{A^3}$$ と書きなおすことができる。これを$\R^3$上定義された接続と adjoint bundleの切断に関する方程式と考え、Bogomolny方程式といい、その解をmagnetic monopole という。

以下 $A^3$ は単に $A$, $\ast^3$ は単に$\ast$で表わす。

例. $G = U(1)$ のときを考えると、$A$ は単なる1-formであり、$\Phi$ は純虚数値関数である。Bogomolny 方程式 $\ast d\Phi = F_A = dA$ より、$\Phi$は調和関数である。そこで、 $\Phi = \frac1r$ と取る。$r$ は原点からの距離である。これは、調和関数である。

$d(\ast d\Phi) = 0$ であるから、de Rhamの定理を使って $\ast d\Phi = dA$ と書くことができれば、magnetic monopole が得られる。しかし $H^2(\R^3\setminus\{0\}) = H^2(S^2)\neq 0$ であるから一般にはできない。しかし $\int_{S^2} \ast d\Phi$ が然るべき整数の定数倍に値を持てば、$A$ は、対応する $\R^3\setminus\{0\}$ 上の複素直線束の接続としては取ることができ、Bogomolny方程式を満たす。これを Dirac の monopole という。

次に、$\R^4$のうち$(x_1,x_2,x_3)$方向の平行移動で不変なものを考えると、 $\R = \{x_0\}$ 上の接続 $A_0(x_0)dx_0$ と三つの Higgs 場 $T_i(x_0)$ であると考えることができる。このとき anti-self-dual 接続の方程式を立てると $$\frac{\nabla}{dx_0} T_i + \frac12 \sum\varepsilon_{ijk} [T_j, T_k] = 0$$ となる。

次に $(x_2,x_3)$-方向の平行移動で不変なものを考えると、 $\C = \R^2 = \{(x_0,x_1)\}$上の接続と2つのHiggs場 $\Phi_2$, $\Phi_3$ に関する方程式と見ることができる。

$F_{02} = -F_{31}$, $F_{03} = - F_{12}$ を書くと $$\begin{split} & \frac{\partial\Phi_2}{\partial x_0} + [A_0,\Phi_2] = \frac{\partial\Phi_3}{\partial x_1} + [A_1,\Phi_2] \\ & \frac{\partial\Phi_3}{\partial x_0} + [A_0,\Phi_3] = - \frac{\partial\Phi_2}{\partial x_1} - [A_1,\Phi_2]\end{split}$$ となる。このとき $z=x_0 + ix_1$, $\Phi = \frac12 (\Phi_2 + i\Phi_3)$ とおくと、これは Cauchy-Riemann 方程式 $$\frac{\nabla^A}{\partial\overline{z}}\Phi = 0$$ に他ならない。

残った $F_{01} = - F_{23}$ を書き下すためには、$\Phi dz = \frac12(\Phi_2+i\Phi_3)(dx_0+idx_1)$ を導入し、$(\Phi dz)^* = \frac12(-\Phi_2+i\Phi_3)(dx_0-id x_1)$ と定めると便利である。 $$F_A + [\Phi dx, (\Phi dz)^*] = 0$$ となる。これをHitchin's self-duality equationとよぶ。

この式の特徴として、一般のリーマン面（=$1$次元複素多様体）で意味をもつことが挙げられる。$A$ は、主 $G$ 束の上の接続と思い、$\Phi dz$ は $\operatorname{Ad}P\otimes\C\otimes \Lambda^{1,0}$ の切断と思えばよい。

7月8日にやったこと

§12. self-duality equation

定義. $P^\C$ 上の partial connection $\overline{\partial}_A$と$\Phi$ の組で $\overline{\partial}_A\Phi = 0$ を満たすもののことを Higgs束という。

この概念は、$P^\C$ があれば定義することができるものであり、$P^\C = P\times_G G^\C$ と $P$ から来ていることは必要ないことに注意する。
したがって、self-duality equation は、Higgs束と、$P^\C$の`reduction' $P$ の組に関する方程式$F_A + [\Phi\wedge\Phi^*] = 0$ である。

次に$\Phi\in\Gamma(\Lambda^{1,0}\otimes (\operatorname{Ad}P\otimes\C))$, $\Phi^*\in\Gamma(\Lambda^{0,1}\otimes (\operatorname{Ad}P\otimes\C))$に 注意し、 $$d_{(A,\Phi)} = d_A + \Phi + \Phi^*$$ を考える。これは、$P^\C$ の connection である。このとき、 self-duality equation から $$F_{(A,\Phi)} = d_{(A,\Phi)}\circ d_{(A,\Phi)} = 0$$ が従う。すなわち$d_{(A,\Phi)}$ は、flat connection である。

上と同様に、この概念も、$P^\C$ があれば定義することができるものであり、$P^\C = P\times_G G^\C$ と $P$ から来ていることは必要ないことに注意する。

connection $d_{(A,\Phi)}$ とreduction $P$ が与えられると、 $$d_{(A,\Phi)} = d_A + \Psi$$ $d_A$ は、$P$のconnection, $\Psi\in\Gamma(\Lambda^1\otimes i\operatorname{Ad}(P))$ （self-duality equation から来る場合は、$\Psi=\Phi+\Phi^*$）と一意的に分解し、 $F_{(A,\Phi)} = 0$ は $$\begin{split} & F_A + \frac12 [\Psi\wedge\Psi] = 0 \\ & d_A\Psi=0 \end{split}$$ と同値である。

Exercise. self-duality equation の残りの式は、$d_A^*\Psi = 0$ と同値であることを示せ。

したがって、

1. $P$上のself-duality equation の解 $(A,\Phi)$
2. $P^\C$ 上のHiggs 束 $(\overline{\partial}_A,\Phi)$ と reduction $P$ の組であって $F_A + [\Phi\wedge\Phi^*] = 0$を満たすもの。
3. $P^\C$上の flat connection $d_{(A,\Phi)}$ と reduction $P$ の組であって $d_A^*\Psi=0$ を満たすもの

Hitchin, Donaldson, Corlette, Simpson, ... に始まり、望月拓郎さんの最近の仕事にまでつながっていく、深い結果は、$X$ がコンパクトな場合に

1. $P$上のself-duality equation のirreducible な解 $(A,\Phi)$
2. $P^\C$ 上のHiggs 束 $(\overline{\partial}_A,\Phi)$ であって, stable なもの
3. $P^\C$上の flat connection $d_{(A,\Phi)}$ であって, irreducbileなもの

§13. symplectic geometry と幾何学的不変式論 （GIT）の対応関係

例. $X=\R^2$, $\omega = dx\wedge dy$, $G = S^1$ のときに $\langle \mu, i\rangle = -\frac12(x^2+y^2)$

Exercise. $X = \C P^n$, $\omega$ は、Fubini-Study計量に付随する K\"ahler formのとき $$\langle \mu(x), \xi\rangle = \operatorname{const}\frac{x^*\xi x}{|x|^2}$$ となることを示せ。

7月15日にやったこと

1. $\mathcal A = \{ A \mid \text{$P$ 上の接続}\}$　という無限次元アファイン空間への
2. $\mathcal G = \{ g: P\to P \mid \text{$P$ のゲージ変換全体}\}$ という無限次元Lie群の、引戻しによる作用を考える。
3. $\mathcal A$ は、$\alpha,\beta\in T_A{\mathcal A}$ に対し、 $$\int_M \operatorname{Tr}(\alpha\wedge\beta)$$ により、symplectic manifoldとなる。
4. $\operatorname{Lie}\mathcal G = \Gamma(\Lambda^0\otimes\operatorname{Ad}P)$, $\operatorname{Lie}\mathcal G^* = \Gamma(\Lambda^2\otimes\operatorname{Ad}P)$を 上と同様の積分で、双対空間とみなす。
5. このとき、$\mu:\mathcal A\to \operatorname{Lie}\mathcal G^*$ を $\mu(A) = F_A$ で定めると、moment map になる。

一般の状況、しかし有限次元で考える。
$\mu: X\to \mathfrak g^*$ を moment map とし、$G$ は、コンパクトなLie群であるとする。
仮定. $G$ の $\mu^{-1}(0)$ への作用は free であるとする。

補題. $x\in\mu^{-1}(0)$ に対し、$d\mu_x: T_x X\to \mathfrak g^*$ は全射

系. $M = \mu^{-1}(0)/G$ は、$C^\infty$級多様体の構造をもつ。

定理.[Marsden-Weinstein] $i: \mu^{-1}(0)\to X$, $\pi:\mu^{-1}(0)\to M$ を自然な写像とする。 このとき $M$ は、$i^*\omega = \pi^*\omega_M$ を満たす、symplectic form $\omega_M$ を持つ。

演習問題. $X = \C^{n+1}$, $G=U(1)$, $\mu = \operatorname{const} (|z|^2 - 1)$ とするとき 上の symplectic form が、Fubini-Study 計量に付随する、K\"ahler form に定数倍を 除いて一致することを証明せよ。

次に、$X=\C P^n$ とし、$G\subset U(n+1)$をコンパクトなLie部分群, $G^\C \subset GL(n+1,\C)$ をその複素化として、$X/G^\C$ という商空間に、`複素多様体' の構造を入れられるか、という問題を考える。

$X=\C P^1$, $G^\C = \C^*$ のとき、単純な商空間は、三点からなるが、商位相では分離できず、Hausdorffではない。

定義. $x\in X$ が semistable であるとは、$x$ のリフト $\hat x\in\C^{n+1}\setminus 0$ を取ったとき、$G^\C\cdot \hat x$ の閉包が、$0$ を含まないときをいう。

このような点は、商空間を作るときには捨てる必要がある。

$X^{ss}$ を semistable な点の全体とする。これを $G^\C$ で割るだけでは、 まだ少し問題が残り、正しくは、$X^{ss}$の中の2つの点$x$, $y$ が軌道の閉包 $\overline{G^\C x}$, $\overline{G^\C y}$ が $X^{ss}$ の中で交わるとき、 $x\sim y$ として、同値関係 $\sim$ を定義し、$X/\!\!/G^\C = X^{ss}/\sim$と定義する。

上の例で、$\C^*$ は、$GL(2,\C)$ の中に $\lambda\mapsto \begin{pmatrix}\lambda & 0 \\ 0 & 1\end{pmatrix}$ として入れる。（入れ方に依存して semistability は変わるので注意）すると、$[z_0:z_1]$ は、$[1:0]$ は unstable, $[0:1]$ と $[1:1]$ は semistable で、両者の orbit の closure は交わっていることから、$X/\!\!/\C^*$ では 同一視され、一点になる。

一般に、幾何学的不変式論の一般論として、$X/\!\!/G^\C$ は, projective variety になることが知られている。

定理.[Atiyah-Bott, Kempf-Ness, Kirwan]

1. $x$ が semistable $\Longleftrightarrow$ $\overline{G^\C x}\cap \mu^{-1}(0)\neq\emptyset$
2. $\mu^{-1}(0)/G\to X/\!\!/G^\C$ は、homeomorphism

1. $g$ が $p_{\hat x}$ の critical point である $\Longleftrightarrow$ $\mu(gx) = 0$
2. $p_{\hat x}$ は、convex function

一般には、critical pointがない可能性があるが、その場合は、unstable であるか、 それとも$\sim$ による別の代表元に移ると、critical pointが取れるのであり、 そのようにして、上の定理は証明される。

上の結果を、$\mathcal A$ への $\mathcal G$ の作用の場合について、 形式的に適用してみることを考える。

$\mathcal A$ は、$P^\C$ 上の partial connection の全体 $\overline{\partial}_A$ と同一視することができ、そうすると、 $P^\C$ のゲージ変換の全体 $\mathcal G^\C$ が$\mathcal A$ に作用し、 $\mathcal G^\C$ は, $\mathcal G$ の複素化とみなすことができる。

すると、 $$\mu^{-1}(0)/\mathcal G = \mathcal A/\!\!/ \mathcal G^\C$$ となることが期待される。

左辺は、$\mu^{-1}(0)$ が、flat connection の全体であることから、 flat connection のゲージ同値類の全体であり、flat connection のモジュライ空間 と通常呼ばれる空間であり、有限次元の（一般には特異点をもつ）多様体である。

一方、右辺は、semistable bundle のモジュライ空間とよばれていて、 代数幾何学の幾何学的不変式論を用いて、構成されているものであり、 有限次元の射影多様体になる。

Atiyah-Bottたちの一般的な定理の有限次元の証明は、そのままでは適用できないが、 結果自体は正しく Narashimhan-Seshadriが、Atiyah-Bottよりも前に証明していた。 より直接的な証明は、Donaldsonによって与えられている。

Higgs 束のときも事情は、ほぼ同様である。 moment map が $\mu = F_A + [\Phi\wedge\Phi^*]$ となることは、exerciseとする。