From nakajima@math.tohoku.ac.jp Tue Nov 22 14:14:18 1994
Path: tsuru!nakajima
From: nakajima@math.tohoku.ac.jp (Nakajima Hiraku)
Newsgroups: tohokumath.math
Subject: S-duality conjecture for Euler Numbers of Instanton Moduli Spaces
Date: 12 Nov 1994 02:10:46 JST
Organization: Mathematical Institute, Tohoku University, Sendai JAPAN.
Lines: 100
Distribution: tohokumath
Message-ID:
NNTP-Posting-Host: take.math.tohoku.ac.jp
In-reply-to: nakajima@math.tohoku.ac.jp's message of 9 Nov 1994 18:29:13 JST

In article nakajima@math.tohoku.ac.jp (Nakajima Hiraku) writes:

|P.S. 来週、S-dualityの話(またまたWittenによる、インスタントンのモジュ
|ライのオイラー数に関する驚嘆すべき予想の話)をしようと思って、今、モ
|ジュラー形式の話をにわか勉強してます。やっと、ヘッケ作用素が分ってき
|ました。(あ、私の定義したヘッケ作用素でなくて、昔からあるヘッケ作用素
|のことね。)日本で暇になったら(ここは、仮定法を使ってます)、お話できるか
|もしれません。

S-dulaityの話を来週オックフォードでしようと思って勉強をはじめたのだけ
れど、一週間やそこいらではまにあわないことが分ってきたのだ。これは、や
ばいぞ。それが何故かは、そのうち分るとして、S-duality conjectureの帰結
するとが、何であるかから説明します。物理的な背景は、私には分らないから
省略ね。

Ｘ を向き付けられた 4次元多様体(とりあえず、コンパクトとする)とする。
Ｇ をコンパクト・リー群として、Ｇ'をそのラングランズデュアルとする。Ｇ
を構造群とするバンドル Ｐ を考えて、対応する反自己双対接続のモジュライ
空間を Ｍ(Ｐ) とする。そのオイラー数の定める母関数を考える。

　　　　　　　　　 χ/12　　　　k(Ｐ)
　　　　Ｚ(q,Ｇ)=q　　　　Σ　q　　　χ(Ｍ(Ｐ))
　　　　　　　　　　　　　Ｐ

但し、k(Ｐ）は、Ｐのインスタントン数(第二チャーン類みたいなものです)と
する。一般には整数にはならない。また、全てのバンドルを動かして取る。
(第一チャーン類と第二チャーン類を動かすと思ってください。) χは、Ｘの
オイラー数とする。

いつものように、q = exp(2πiτ)と書くことにする。
このとき、Ｓ-dualityは、
　　　　　　　　　　　　　w/2
　　　　Ｚ(-1/τ,Ｇ)=±(τ/i)　　Ｚ(τ,Ｇ')

となることを予想する。wは、後で決めるが、Ｘだけから決まる数である。 一般にＧとＧ'は異なるので注意が必要だが、上の式は、Ｚ(τ,Ｇ)がモジュラー 形式であることを意味する。実際、Vafa-Wittenは、Ｚ(τ,SU(2))が、
Γ_0(4)に関してモジュラーであることを上の式から導いている。(Ｇ'のラングランズ デュアルがＧであることと、Ｔ^4で、Ｚ(τ,SO(3))が不変であることを使えば すぐでてきます。)
これは、恐しく強い結果で、無限個あるＰのうち、有限個のχ(Ｍ(Ｐ))の値が
決まってしまうだけで、他の全ての値も決まることが、モジュラー形式の有限
次元性からすぐに従う。

さて、Vafa-Wittenはいろいろな4次元多様体Ｘについて上の式をチェックする。
(基本的に数学者の計算を使います。)

NB. どうでもいいことだけど、物理屋 ： 数学屋 = 理論 ： 実験という式が
成り立っていますねえ。

1. K3曲面

基本的に向井さんの結果によって、0-dim subscheme of deg=n の全体の成す
Hilbert schemeのオイラー数をもとめればよい。これは、例えば、Gottscheに
よって得られている。結果として、△の逆数が出てきます。結果として、w を
Ｘのオイラー数 x (-1/2) とおけばよろしかろうと予想できます。(K3のオイ
ラー数は、24で、△はウェイト12のカスプ形式)

2. 射影曲面

京都の吉岡さんが求めているのですが、ここでオイラー数が3であることを思
いだすと、れれれ？！となる。普通モジュラー形式といったら、ウェイトは整
数でないのかな？ ところが、世の中には、面白いことを考える人がいるもの
で、ちゃんとそういうものがあるのだ。もちろん、ルートの取り方が難しくな
るので、定義は面倒になる。Koblitzの本によると、「いろいろな人が捜した
けど、なかなか見つからなくて、やっと最近になって、Shimuraによって発見
された」とある。
しかも、より難しいことに吉岡さんの計算の場合にはより複雑なことにモジュ
ラー形式にならないのだ。しかし、Eisenstein級数で、巾が2のときにmodify
できたように、この場合にもなんとかモジュラー形式としての解釈が可能なよ
うに、この場合にもZagierによる解釈があると、論文に書いてある。ここで、
私は落ちこぼれたので考えるのをやめたのだ。

3. ブローアップ

Ｘをブローアップして、Ｘ'を得たとする。(CP^2の向きを逆にしたものを連結
和したとすればよい。) このとき、母関数の間に、

Ｚ'(τ, Ｇ) = Ｚ(τ, Ｇ) Ｚe(τ, Ｇ)

という関係が成立することが期待できる。但し、Ｚ'はＸ'に対応する母関数で、
Ｚeは、Ｘによらない関数である。このとき、Ｘを代数曲面とすれば、吉岡さ
んの結果により、affine SU(2)のlevel 1の表現のcharacterが出てくる。(但
し、afiine SU(2)の表現を作ったわけではない。) この場合もモジュラー不
変性は満されるわけだ。

4. ALE空間

この場合、母関数Ｚは、affine Lie algebraのcharacterになる。(モジュライ
のホモロジーが表現空間になるから) 但し、いろいろな表現を足さないといけ
ないから、例えば SU(2)のときにΓ0(4)で不変かどうかは必ずしもあきらかで
ない。でもモジュラー形式と関係がありそうなことは、見えているわけです。

以上、どうもＳ-dualityは、この理論の場合には正しそうだと結論できるわけ
だ。

中島 啓

P.S.ついでにこの文章をなんとか、こちらで打ち出す方法ないですか？