2001年度前期講義「幾何学特論 I」

目次

4月17日(火)開講

授業内容

4月17日にやったこと

• 概複素多様体の定義
• Nijenhuisテンソルの定義
• Newlander-Nirenbergの定理(証明は略)
• Kaehler多様体の定義
• Kaheler多様体のRicci曲率

5月1日にやったこと

• Kaehler potentialの定義

• hypercomplex多様体の定義
  • I² = J² = K² = IJK = -1
  • I, J, K はそれぞれ可積分
• 小畠の定理: hypercomplex多様体に はtorsion freeで▽I = ▽J = ▽K = 0を満たすアファイン接続がただ一つ存 在する.
• hyperKaehler多様体の定義
  • I² = J² = K² = IJK = -1
  • 計量 g は, I, J, K それぞれについてhermitian
  • g のLevi-Civita接続を▽とするとき, ▽I = ▽J = ▽K = 0
• hyperKaehler多様体のRicci曲率は0である.
• hyperKaehelr多様体は正則シンプレクティック形式を持つ
• 上のhyperKaehler多様体の定義において, 第三番目の条件の代わりに dω_I = dω_J = dω_K = 0としても同値である.

5月8日にやったこと

• Lie群とLie環
• Lie群の多様体への作用
• slice定理

• symplectic多様体へのLie群の作用に関する運動量写像 μ:M → g^*
• symplectic quotient M_red = μ^-1(ζ)/G
• Kaehler多様体の場合: 元々のMがKaehler多様体の場合には, M_redもKaehler多様体となる.

5月15日にやったこと

• Kaehler quotientの例として複素射影空間
• hyperKaehler moment mapの定義
• M=H, G=Sp(1)のときの計算
• M=C², G=U(1)のときの計算
• μ_C = μ_J + iμ_Kが複素構造 I に関して正則写像となる

5月22日にやったこと

• Σを向き付けられた2次元コンパクト多様体とし, Eをその上のベクトル束とする. このとき, E 上の接続の全体をAとし, ゲージ群をGとする. Aにはシンプレクティック構造が定義され, G はそれを保つようにAに作用する. このとき, 接続の曲率を与える写像は, モーメント写像となる.
• さらにΣにRiemann計量を導入し, Eにはファイバー計量を導入する. 接続としてはそれを保つもの, ゲージ群もそれを保つバンドル自己同型の全体とする. このとき, Aに自然にL²内積と概複素構造が入り, 上のシンプレクティック構造は対応するKaehler形式となる.
• H = R⁴にhyperKaehler構造を入れておく. Eをファイバー計量を持ったベクトル束とし, 上と同様にAをそれを保つ接続の全体, Gをそれを保つバンドル自己同型の全体とする. このとき, ▽に対してR^▽∧ω_I, R^▽∧ω_J, R^▽∧ω_Kを対応させる写像はhyperKaehler moment mapとなる.

5月29日にやったこと

• hyper-Kaehler商 μ^-1(0)/G が再びhyper-Kaehler多様体になることの証明
• holomorphic symplectic 商μ_c^-1(0)/G^cとの関連
  • スライス定理は割る群がコンパクトでないときには成立しないので, μ_c^-1(0)/G^c が多様体になるかどうかは分からない. 商位相もハウスドルフになるとは限らない.
  • 集合の間に写像 μ^-1(0)/G → μ_c^-1(0)/G^cが存在する.
  • 例. M = H², G = U(1), G^c = C^*のときに両者を具体的に記述.

6月5日にやったこと

• 先週の例で, μ^-1(ζ)/Gは, ζ_C = 0, ζ_R ≠0のとき射影直線の余接束 T^*CP¹となる.

• V をエルーミート計量を持つ複素ベクトル空間, GをU(V)のLie部分群, G^Cをその複素化とする. モーメント写像 μ:V → g^* は, <μ(x),ξ> = 1/2 Re(iξx, x) で与えられる. このとき p_x(g) = 1/4 |gx|²というG^C上の関数を考える.
• 定理
  1. p_x は G＼G^C／G_x^C上の関数に落ちる.
  2. g が p_xの臨界点 ⇔ μ(gx) = 0
  3. p_xは G＼G^C 上の凸関数
  4. p_xの臨界点は最小値を取る点
  5. p_xが最小値を取るならば, それはただ一つのコセットG＼g／G_x^Cで取る.
  6. p_xが最小値を取るための必要十分条件は, G^Cxが閉軌道であること
• 系(Kempf-Ness) μ^-1(0)/G = { 閉なG^C軌道の全体 }

6月12日にやったこと

• 幾何学的不変式論の簡単な紹介
  • 集合論的な商空間 V/G^C の代わりに, 商空間の上の関数(多項式)が何かを考える. それは, V上のG^C不変な関数(多項式)と考えるのが自然である. そこで, A(V)をV上の多項式全体の成す環, A(V)^GCをそのG^C不変な部分環とする. 永田の定理によりA(V)^GCは有限生成であることが知られている. V//G^C = Spec A(V)^GCと定義する. アファイン代数多様体(一般には特異点を持つ)になる.
  • 次のことが知られている. 包含写像 A(V)^GC ⊂ A(V)は全射正則写像 V → V//G^Cを導く. 同値関係〜を x〜y ⇔ G^Cxの閉包とG^Cの閉包が交わる, として定義したときに V//G^Cは集合としてはV/〜に他ならない. また, V//G^Cは閉なG^C軌道の全体にもなる.
  • 証明の途中で用いられるのは次の定理: W₁, W₂をG^C不変なZariski閉集合とするとき, W₁∩ W₂ = φである必要十分条件は, G^C不変な多項式 f で W₁上で 1, W₂上で0となるものがあることである.
• μ^-1(ζ)/Gの場合への拡張. ただし, ある群準同型χ:G → U(1) があって, ζ=idχ : Lie G → R となっている場合を考える.
  • V x C に G^Cの作用を g(x,z) = (gx, χ(g)^-1z)によって定義する.
  • z≠0とし, p_(x,z):G^C → R を p_(x,z) = 1/4 ||gx||² + log |χ(g)^-1z|で定義する.
  • 定理
    1. p_(x,z) は G＼G^C／G_(x,z)^C上の関数に落ちる.
    2. g が p_(x,z)の臨界点 ⇔ μ(gx) = ζ
    3. p_xは G＼G^C 上の凸関数
    4. p_xの臨界点は最小値を取る点
    5. p_xが最小値を取るならば, それはただ一つのコセットG＼g／G_(x,z)^Cで取る.
    6. p_(x,z)が最小値を取るための必要十分条件は, G^C(x,z)が閉軌道であること
  • 系.μ^-1(ζ)/G = { 閉なG^C(x,z)の全体 } (ただし z は固定する)
• Hilbert-Mumfordの判定法: x∈Vとし, YをG^Cxに含まれるG^C不変な閉集合とする. このとき群準同型 λ:G^C→C^*と点y∈Yであって lim_t→0 λ(t)x = yとなるものが存在する.

6月19日にやったこと

• 例. V, W はHermite内積を持った複素ベクトル空間, M = Hom(W,V) x Hom(V,W), G = U(V), G^C = GL(V)
  • 作用は, g(a,b) = (ga, bg^-1)
  • I(a,b) = (ia, ib), J(a,b) = (-b^*,a^*) (ただし^*はhermitian adjoint)
  • hyper-Kaehlerモーメント写像は, μ_I(a,b) = -i/2 (aa^* - b^*b), μ_C(a,b) = ab で与えられる.
  • χ: G → U(1)を χ(g) = det gで定める.
  • 定理. (a,b)∈μ_C^-1(ζ_C)とする. このとき
    1. G^C(a,b)∩μ_I^-1(idχ)≠φである必要十分条件は, aがsurjectiveであることである.
    2. G^C(a,b)∩μ_I^-1(-idχ)≠φである必要十分条件は, bがinjectiveであることである.
    3. ζ_C≠0のときは, 上の二つの条件は自動的に成立する.
  • 定理. hyper-Kaehler商 μ^-1(ζ)/Gの複素多様体としての構造は次の様になる. (ただし, ζ_Iは, 0か±idχとする.)
    1. ζ_C≠0のとき. μ^-1(ζ)/Gの複素多様体としての構造はζ_Iにはよらず, 全て対角行列 diag[0,..,0, ζ_C,...,ζ_C]と共役な行列の全体, と同型になる. (0がdim V個, ζ_Cがdim W - dim V個)
    2. ζ_C = 0, ζ_I = 0のとき. μ^-1(ζ)/G = { A ∈ End(W) | A² = 0, rank A ≦ dim V }
    3. ζ_C = 0, ζ_I = ±idχのとき. μ^-1(ζ)/G = T^*Grassmann
• 例. V, W はHermite内積を持った複素ベクトル空間, M = Hom(V,V) x Hom(V,V) x Hom(W,V) x Hom(V,W), G = U(V), G^C = GL(V)
  • 作用は, g(B₁,B₂,a,b) = (gB₁g^-1,gB₂g^-1, ga, bg^-1)
  • I(B₁,B₂,a,b) = (iB₁,iB₂,ia, ib), J(B₁,B₂, a,b) = (-B₂^*,B₁^*, -b^*,a^*)
  • hyper-Kaehlerモーメント写像は, μ_I(B₁,B₂,a,b) = -i/2 ([B₁,B₁^*] + [B₂,B₂^*] + aa^* - b^*b), μ_C(B₁,B₂,a,b) = [B₁,B₂]+ab で与えられる.
  • 定理(Atiyah-Hitchin-Drinfeld-Manin). hyper-Kaehler商 μ^-1(0)/G の自由な軌道からなる開集合(μ^-1(0)/G)^〇は, R⁴上の反自己双対接続の(枠付き)モジュライ空間とhyper-Kaehler多様体として同型である.
  • 定理(中島) ζ_C = 0, ζ_I = idχのとき, hyper-Kaehler商 μ^-1(0)/Gは, C²上のtorsion-free coherent sheavesの(枠付き)モジュライ空間と複素多様体として同型である.

7月3日にやったこと

• C²上のn個の点のなすHilbert概型とは, 多項式環 C[z₁, z₂]のイデアルIで, C[z₁, z₂]/Iがベクトル空間としてn次元になるものの全体のことを言う. 例えば, C²からn個の相異なる点を取り, I としてその点で消える 関数の全体を取れば, Hilbert概型の点を定める.
• また, C²のある点と, その点での接空間の一次元線形部分空 間が与えられたとき, I としてその点で消え, さらに微分がその部分空間の方 向に消えるような関数の全体と定める. これはC²上の2個の Hilbert概型の点である.
• 先週の例において, dim W = 1, dim V = n とすると, ζ_C = 0, ζ_I = idχのとき, hyper-Kaehler商 μ^-1(0)/Gは, C²上のn個の点のなすHilbert概型と複素多様体として同型である.
• 写像は, 次のように与えられる. イデアル I に対して C[z₁,z₂]/Iをベクトル空間と考え, 与えられたベクトル空間Vとの間の同型を固定する. W = Cとおく. C[z₁,z₂]/I においてz₁, z₂を掛ける写像を同型でVに写したものをB₁, B₂と定める. Wの1に対し, 多項式の1を対応させる写像を同型でVに写したものをiとする. j=0 とおく.

7月17日にやったこと

• S¹作用の固定点がμの臨界点である. S¹作用の固定点が孤立していると仮定する.
• このとき, μのHessianを計算すると, μがモース関数であることが分かる. さらに, モース指数, すなわちHessianの負の固有値の数を勘定すると, 偶数であることが分かる.
• モース理論の標準的な議論においてモース指数がかならず偶数であることに注意すると,
  Σ_k dim H^k(M,R) t^k = Σ_x t ^index-x
  が分かる. ただし右辺はS¹作用の固定点xに関する和で, index^-xは, xにおけるμのモース指数である.
• M = G(r,n) = Cⁿのr次元部分空間の全体のグラスマン多様体とし, Tⁿの標準的なCⁿへの作用の誘導するMへの作用を考える.
  • 固定点は, Cⁿの標準的な基底(全部でn個ある)からr個選び, それを基底として持つベクトル空間である. よって, 全部で_nC_rの固定点がある.
  • λ:S¹→Tⁿを適当に取ると, S¹作用の固定点はTⁿの固定点と一致し, 特に有限個の点となる. 上の議論を適用すると, 指数が容易に計算でき, グラスマン多様体のBetti数が計算できる.
• M = (C²)^[n]を C²上のn個の点のなすHilbert概型とする. C²への自然なT²の作用が誘導するHilbert概型への作用を考える.
  • C²の座標をx,yとしたとき, 固定点は x, y の単項式で生成されるイデアルである. 単項式 xⁱy^jが(i,j)座標になるようにx,y平面(の第一象限に単項式を並べ, イデアルに入らない単項式を箱で囲むことにする. すると Young図式が得られる. 箱の数は n 個である.
  • 上のグラスマンのときと同様にλ:S¹→Tⁿを適当に取ると, S¹作用の固定点はT²の固定点と一致し, 特に有限個の点となる.
  • Mはコンパクトでないので注意が必要だが, 基本的に上の議論を適用することが出来て,
    Σ_k dim H^k(M,R) t^k = Σ_Y t ^2(n-l(Y))
    が分かる. ただし右辺は, 箱の数がn個のYoung図式Yを全て走り, l(Y)はYの列の数である.

レポートについて