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2005年度後期講義「位相幾何学II」

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目次

開講のお知らせ 10月4日 10月18日 10月25日 11月1日 11月8日 11月15日 11月29日 12月6日 12月13日 12月20日 1月10日 1月24日

10月4日開講

2006年1月24日が最終講


10月11日は, 休講.

11月22日は, 休講.

1月17日は, 休講

授業内容

同変コホモロジ-の局所化定理を用いて, いろいろな例で交点数を計算する。グラスマン多様体やヒルベルト概型の場合に, 対称多項式の組み合わせ論との関連などを述べる。またインスタントンモジュライ空間に適用して, ドナルドソン不変量の計算を行う。

参考文献


単位は, レポートにより判定する.

10月4日にやったこと

§1. Introduction

歴史

§2. Euler類とChern類

§3. Bottの公式

Xを偶数次元の向きづけられたコンパクトな多様体でS^1作用を持つものとして, その固定点集合 X^{S^1}は有限集合であるとする. 各固定点 x\in X^{S^1}に対して T_x XS^1の表現と見て, そのウェイトを n_1, \cdots, n_dとする. このとき e^{S^1}(T_x X) = n_1\cdots n_d とおく.
EX上の複素ベクトル束として, 固定点 x のファイバー E_xS^1の表現としてのウェイトをm_1, \cdots, m_rとする. このとき c_k^{S^1}(E_x) = e_k(m_1,\cdots,m_r) とおく. ただし e_kkth elementary symmetric polynomialである. \int_X c_{i_1}(E)\cdots c_{i_k}(E) = \sum_{x\in X^{S^1}} \frac{c^{S_1}_{i_1}(E_x)\cdots c^{S^1}_{i_k}(E_x)}{e^{S^1}(T_x X)} が, i_1+ \cdots +i_k \le dのときに成立する。

10月18日にやったこと

complete symmetric polynomial h_k の定義: \vec{x} = (x_1,x_2,\cdots) \sum h_k(\vec{x})t^k = \prod\frac1{1-tx_i}

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複素射影空間 {\mathbf C}P^nへのS^1作用をS^1 \ni t\mapsto \mathrm{diag}(t^{m_0},\cdots,t^{m_n})\in\mathrm{GL}(n+1,{\mathbf C})が誘導する作用とする. m_\alphaは互いに相異なるものとする. すると 固定点は同次座標で[1:0:\cdots:0], [0:1:0:\cdots:0], \cdots, [0:\cdots:0:1]n+1個である. \alpha番目$0\le\alpha\le n$の座標が1で, 他の座標が 0である点をp_\alphaとする. 接空間のEuler類 e(T_{p_\alpha}{\mathbf C}P^n) は, m_\beta - m_\alpha\quad (\beta\neq \alpha) である. tautological bundle \mathcal LS^1作用はliftし, p_\alphaにおける ファイバーのウェイトはm_\alphaである. よって \int_{{\mathbf C}P^n} c_1(\mathcal L)^n = (-1)^n は, Bottの公式から \sum_{\alpha=0}^n \frac{m_\alpha^n}{\prod_{\beta\neq\alpha} m_\beta-m_\alpha} = (-1)^n と同値である. より一般に \sum_{\alpha=0}^n \frac{m_\alpha^N}{\prod_{\beta\neq\alpha} (m_\alpha-m_\beta)} = h_{N-m}(\vec{m}) が, N\ge mについて成立する. ただし, N < mのときは右辺は0と約束する. これは留数定理から従う.

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Grassman多様体G(r,n)を考える. 上と同様にS^1作用を定めると, 固定点 集合はI\subset \{1,\cdots,n\}|I| = rとなるものと一対一対応する. Iに対応するG(r,n)の点をS_Iであらわし, {\mathbf C}^nr次元 部分空間と思うことにする. このときT_{S_I}G(r,n)のウェイトは m_\beta - m_\alpha, \qquad \beta\in I^c, \alpha\in I となる. tautological bundle \mathcal SS^1作用はliftし, S_Iにおけるウェイトは m_\alpha $\alpha\in I$である.

演習問題.
\int_{G(r,n)} c_r(\mathcal S)^{n-r} = (-1)^{r(n-r)} をBottの公式を用いて証明せよ. すなわち \sum_{I} \frac{\prod_{\alpha\in I} m_\alpha^{n-r}}{\prod_{\alpha\in I,\beta\in I^c } m_\beta - m_\alpha} = (-1)^{r(n-r)}を示せ.

Schubert胞体の定義

G(r,n)は商空間として, 単射線形写像 A: \mathbf C^r\to \mathbf C^nの全体を \mathrm{GL}_r(\mathbf C)によって割ってできる. この記述を使ってG(r,n)C^\infty級多様体の構造を入れることができる.

商空間の一般論


10月25日にやったこと

Grassmann多様体つづき Schur多項式 次にグラスマン多様体の場合に戻って, Schubert胞体のクラス[\overline{U_I}]c_i(\mathcal S)の多項式で書く.

11月1日にやったこと

§4. 同変ホモロジーによるBottの公式の証明

Tをトーラスとして, ET_N\to BT_Nを分類空間の有限次元近似とする.
  1. 0\ne nに比べてNが十分に大きいとき, H^n(ET_N) = 0 となる.
  2. BT_Nは, BT_{N-1}Nに比べて十分に大きなcellを接着して得られる.
  3. BT_NC^\infty多様体で, ET_Nはその上のT-主束である.
XTの作用を持つ位相空間で, さらにそのホモロジー群は十分大きい次数では消えているものとするとき \begin{align}H^n_T(X) &= H^n(X\times_T ET_N)\\ H_n^T(X) &= H_{n+\dim BT_N}^{\textrm{l.f.}}(X\times_T ET_N)\end{align} とおく. 同変コホモロジーと同変ホモロジーという.

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X = \mathrm{pt}のとき H^*_T(\mathrm{pt}) = {\mathbb C}[x_1,\cdots,x_r], H_*^T(\mathrm{pt}) = {\mathbb C}[x_1,\cdots,x_r]\cap [\mathrm{pt}]_T $r=\dim T$ となる. ただし, \deg x_i = 2 であり, [\mathrm{pt}]_Tは, \mathrm{pt}T同変-基本類である. 下をみよ.) これはT = S^1 のときにET_N = S^{2N+1}, BT_N = \mathbb{C}P^Nで確かめて, これの直積を取ればよい.

性質.

  1. 上の性質を満たす ET_N\to BT_Nの取り方にはよらない.
  2. ファイバー束X\times_T ET_N\to BT_Nより, H^*_T(X), H_*^T(X)は, H^*_T(\mathrm{pt})-加群になる.
  3. T-同変写像 f: X\to Yについて, 引き戻し写像 f^*: H^*_T(Y)\to H^*_T(X)が定義される. さらにfが固有のとき f_{*}: H_*^T(X)\to H_*^T(X)が定義される.
  4. Xが向きづけられたC^\infty-多様体で, Tの作用がC^\infty-級のとき, T-同変 基本類[X]_T\in H^T_{\dim X}(X)が定義されて, Poincar\'e 双対写像 \alpha\mapsto \alpha\cap [X]_T が同型写像 H^*_T(X)\to H_{\dim X-*}^T(X)を与える. 上の次数の与え方は, Poincar\'e 双対写像の次数が, 通常のものと同様に振る舞うように決められている.
  5. Tの作用が自明なとき, H^*_T(X) = H^*_T(\mathrm{pt})\otimes H^*(X)となる.
  6. Tの作用が自由でX\to X/TT-主束のとき, H^*_T(X) = H^*(X/T), H^T_*(X) = H_{* - \dim T}(X/T)となる.
  7. X上の階数rの向きのついたT-同変ベクトル束Eに対して 同変オイラー類e(E)\in H^r_T(X)が定義される. T-同変複素ベクトル束については 同変チャーン類c_k(E)\in H^{2k}_T(X)が定義される. これはX\times_T ETに ベクトル束が定義されることから, そこでオイラー類, チャーン類を取ればよい.

定理.

Tをトーラスとし, XT作用を持つ上の仮定を満たす位相空間で, さらにTの有限次元表現にT-同変に埋め込めるものとする. このとき X^TT-作用の固定点集合とし, i: X^T\to Xを包含写像とする. このとき i^*: H^*_T(X) \to H^*_T(X^T), \qquad i_{*}: H_*^T(X^T) \to H_*^T(X^T) の核と余核は H^*_T(\mathrm{pt})のねじれ加群である. より強く, f\in H^*_T(\mathrm{pt})TのLie環の複素化\mathrm{Lie}T\otimes\mathbb C上の多項式と 見て, x\in Xのstabilizer \mathrm{Stab}_T(x)T自身と異なるものi.e., 固定点以外でのstabilizerのLie環の複素化に制限すると0となるようなものとすると, fは核と余核に0で作用する.

証明で用いられる補題

T'\subset Tを部分群とする. XからT/T'へのT同変な写像があると H^*_T(X), H_*^T(X)へのH^*_T(\mathrm{pt})の作用は, \mathrm{Lie}T\otimes{\mathbb C}\to \mathrm{Lie}T'\otimes{\mathbb C}という制限写像を経由する.
実際H^*_T(\mathrm{pt})\to H^*_T(T/T') \to H^*_T(X)とfactorし, 真ん中は H^*(ET\times_T (T/T') = H^*(ET/T') = H^*_{T'}(\mathrm{pt})となる.


11月8日にやったこと

上の続き

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H^*_T(\mathrm{pt})の商体を{\mathcal S}_Tとするとき i^*: H^*_T(X)\otimes_{H^*_T(\mathrm{pt})}{\mathcal S}_T \to H^*_T(X^T)\otimes_{H^*_T(\mathrm{pt})}{\mathcal S}_T, \qquad i_{*}: H_*^T(X^T)\otimes_{H^*_T(\mathrm{pt})}{\mathcal S}_T \to H_*^T(X^T)\otimes_{H^*_T(\mathrm{pt})}{\mathcal S}_T は同型写像になる.

さらにXをコンパクトなC^\infty級多様体で, Tの作用はC^\infty級であるとし, 不動点集合X^Tは有限個の点であるとする. p: X\to\mathrm{pt}を一点への写像とし, p'をそのX^Tへの制限とする. このとき可換図式 \begin{array}{lcr}H^T_*(X^T)&\longrightarrow[75]^{i_*}&H^T_*(X)\\ \longdownarrow[50]^{p'_*}&&\longdownarrow[50]_{p_*}\\ H^T_*(\mathrm{pt})&\longrightarrow[75]_{\mathrm{id}}&H^T_*(\mathrm{pt})\end{array} を考える. 左上のH_*^T(X^T)TX^Tに自明に作用することから, H_*^T(\mathrm{pt})\otimes H_*(X^T) = H_*^T(\mathrm{pt})\otimes H_0(X^T)である. $H_*^T(\mathrm{pt}\sharp X^T個のコピーの直和である.) その元を\sum_{x\in X^T} \alpha_x \otimes [x] で表わすと, 左下向きのp'_*は有限個の点を一点に落とす写像から誘導される写像であり, p'_*\left(\sum_{x\in X^T} \alpha_x \otimes [x]\right) = \sum_{x\in X^T} \alpha_x$ で与えられる.

次に上の可換図式の各項に\otimes_{H^*_T(\mathrm{pt})}{\mathcal S}_Tを適用する. すると, 二つの横向き矢印は同型写像になる. \alpha\in H^T_*(X)H^T_*(X)\otimes_{H^*_T(\mathrm{pt})}{\mathcal S}_T の元に移したものも同じ記号で表わすことにし, (i_*)^{-1}(\alpha) = \sum_{x\in X^T} \alpha_x \otimes [x]とする. 固定点x\in X^TX^Tに入れる包含写像をi_xとすると, \alpha = \sum_{x\in X^T} \alpha_x i_{x*}[x]であり, さらにPoincar\'e双対 によりH^T_*(X)H_T^*(X)を同一視すると i_x^*(\alpha) = \alpha_x i_x^* i_{x*}[x] = \alpha_x e(T_x X)\cap [x]となる. ここで, e(T_x X)は接空間T_x X の\bf 同変 オイラー類である. さらに, e(T_x X)T_x Xのウェイトの積で与えられ, X^Tは孤立しているという仮定から0はウェイトになっていないので, e(T_x X)0でない元である. 従って, \alpha_x [x] = \frac{i_x^*(\alpha)}{e(T_x X)}となる.

これはより一般に次の形で成り立つ.

補題. X^Tは有限個の点とは仮定せず, 有限個の部分多様体の和であると仮定し, Sをその連結成分とする. N_{S/X}SX内での法束とするとき, e(N_{S/X})\cap \cdot : H_*^T(S)\to H_*^T(S)\otimes_{H^*_T(\mathrm{pt})}{\mathcal S}_Tを取ると同型写像である.

実際, rSの余次元とし, e(N_{S/X})\in H^r_T(S) = \bigoplus_{i+j=r} H^i_T(\mathrm{pt})\otimes H^j(S)として, e(N_{S/X})H^r_T(\mathrm{pt})\otimes H^0(S) 成分を e(N_{S/X})'とすると, 上と同じ議論により e(N_{S/X})' は \bf 0でない スカラー行列である. 一方, e(N_{S/X}) - e(N_{S/X})'を考えると, H^{>0}(S)-成分に属していて, コホモロジーは十分大きな次数で消えるために 巾零行列になっている. 従って, e(N_{S/X})は可逆である. 以上をまとめると p_*(\alpha) = \sum_{x\in X^T} \frac{i_x^*(\alpha)}{e(T_x X)} となる.

これは始めに述べたBottの公式に他ならない.

§5. アファイン平面上のヒルベルト概型

二変数多項式環{\mathbb C}[x,y]の部分集合Iで, 次の条件を満たすものの全体のなす集合を\mathrm{Hilb}^n({\mathbb C}^2)で表わす.
  1. Iはイデアルである.
  2. \dim {\mathbb C}[x,y]/I = n

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  1. p_1, \dots, p_nn個の相異なる{\mathbb C}^2の点とし, これらの点の上で消える関数の全体をIとするとIは, \mathrm{Hilb}^n({\mathbb C}^2)の 元である.
  2. p{\mathbb C}^2の点, vpにおける0でない接ベクトルとし, I = \{ f\in {\mathbb C}[x,y] \mid f(p) = 0, \langle df_p, v\rangle = 0\} とおくと, I\mathrm{Hilb}^2({\mathbb C}^2)の元である.
({\mathbb C}^2)^n/S_n{\mathbb C}^2n次対称積といい, S^n {\mathbb C}^2で表わす. 上の例1により, S^n {\mathbb C}^2から点がぶつかっている locus を 除いたものが\mathrm{Hilb}^n({\mathbb C}^2)の中に入っている. しかし, 例2で分かる通り, \mathrm{Hilb}^n({\mathbb C}^2)S^n {\mathbb C}^2は異なるものである.

補題. \mathrm{Hilb}^n({\mathbb C}^2)は, 次の二条件を満たす n\times n行列B_1, B_2n次元ベクトルv\in {\mathbb C}^n\mathrm{GL}_n({\mathbb C})の自然な作用で割った商と一対一に対応する.

  1. [B_1,B_2] = 0
  2. vは, B_1, B_2に関するcyclic vectorである. すなわち, vB_1, B_2を何回か掛けてできるようなベクトル全体で{\mathbb C}^nが 張られる.

定理Fogarty. \mathrm{Hilb}^n({\mathbb C}^2)は, 滑らかな2n次元の複素多様体である.


11月15日にやったこと

行列表示による Fogarty の定理の証明 Hilbert-Chow morphism \pi: \mathrm{Hilb}^n({\mathbb C}^2)\to S^n({\mathbb C}^2) の定義 \pi^{-1}(0)をpunctual Hilbert scheme という. 二次元トーラス T^2{\mathbb C}^2への自然な作用(t_1,t_2)\cdot (x,y) = (t_1 x, t_2 y)は, T^2\mathrm{Hilb}^n({\mathbb C}^2)への作用を引き起こす. このとき

定理 1 固定点は, 単項式で生成されるイデアルであり, 箱の数がn個のYoung図形と 一対一に対応する.

2 Young図形Yに対応する固定点における接空間の, T^2の表現としての指標は T_{I}\mathrm{Hilb}^n({\mathbb C}^2) = \sum_{s\in Y} t_1^{-l(s)} t_2^{a(s)+1} + t_1^{l(s)+1} t_2^{-a(s)} で与えられる. ただし, a(s), l(s) は arm length, leg length である.


11月29日にやったこと

系1 \sum_Y \frac{q^{|Y|}}{\prod_{s\in Y} (-l(s)\varepsilon_1 +{(a(s)+1)}\varepsilon_2)(({l(s)+1})\varepsilon_1 - {a(s)}\varepsilon_2)} = \exp(\frac{q}{\varepsilon_1\varepsilon_2})

系2 \mathrm{Hilb}^n({\mathbb C}^2)のPoincar\'e多項式は \sum_{n=0} q^n P_t(\mathrm{Hilb}^n({\mathbb C}^2)) = \prod_{m=1}^\infty \frac1{1-t^{2m-2}q^m} で与えられる.

  1. \mathrm{Hilb}^n({\mathbb C}^2)は連結
  2. \mathrm{Hilb}^n({\mathbb C}^2)のBetti数は, 奇数次, 2(n-1)より大きい次数でも消える. また, 2(n-1)次のBetti数は1である.
\{\, I \mid \lim_{t\to\infty} (t^{-N},t^{-1})\cdot Iが存在する \}は, punctural Hilbert scheme \pi^{-1}(n[0])と一致し, 特に上の計算から\pi^{-1}(n[0])n-1次元の既約成分は一個であることが分かる. 実は, 既約であることも知られている. Briancon

§6. ヒルベルト概型とハイゼンベルグ代数

\bigoplus_n H_*(\mathrm{Hilb}^n({\mathbb C}^2))に`convolution'によって Heisenberg代数の表現の構造を入れることができ, 無限個の変数 p_1, p_2, \dots, からなる多項式の全体 {\mathbb C}[p_1,p_2,\dots]への Fock表現と同型であることが分かる.

12月6日にやったこと

二次元トーラスを一次元部分トーラス\{ (1,t) \mid t\in {\mathbb C}^*\}に制限して\mathrm{Hilb}^n({\mathbb C}^2)への作用を考える.
  1. 固定点の連結成分 F_\lambda は, nの分割で\lambdaでパラメトライズされる.
  2. t\to\inftyのときにF_\lambdaに収束するようなイデアルの全体を L_\lambda^\circとおき, その閉包をL_\lambdaと表わすと, L^{[n]} = \bigsqcup L_\lambda^\circ = \bigcup L_\lambdaは, 台が \{ y = 0\}に含まれているようなイデアルの全体である.
  3. L_\lambdaは, 各n次元で, L^{[n]}の既約成分である.
  4. \Pi: \mathrm{Hilb}^n({\mathbb C}^2)\to S^n{\mathbb C}を Hilbert-Chow morphism \mathrm{Hilb}^n({\mathbb C}^2)\to S^n{\mathbb C}^2x軸への射影S^n{\mathbb C}^2\to S^n{\mathbb C}の合成とするとき, L^{[n]} = \Pi^{-1}(n[0])であり, \Pi^{-1}の一般のファイバーは {\mathbb C}^nとなる. \Piの各成分は互いにPoisson可換であり, 可積分系を与えている.
  5. \bigoplus_n H_{2n}(L^{[n]})に先週と同様にしてHeisenberg代数の表現の構造を いれ, Fock空間と見なして対称多項式の全体の空間と同一視すると, [L_\lambda]はorbit sum m_\lambdaになることが分かる.
対称多項式と対称群の表現について簡単に紹介した.

12月13日にやったこと

シューア関数 s_\lambda の幾何学的な解釈. Vasserotによる同変ホモロジー H^*_{S^1}(X^{[n]})を用いた解釈について解説を行った.

§7. {\mathbb R}^4上のinstantonとADHM construction

定義 {\mathbb R}^4上の接続AがASDであるとは, すべての{\mathbb R}^4\cong{\mathbb C}^2に対して, Aは複素構造とcompatibleであるときをいう.

定理 {\mathbb R}^4上のU(r)-ASD接続Aで, \frac1{4\pi^2}\int_{{\mathbb R}^4} |R_A|^2 = k < \infty となるものと, 次の条件を満たす複素行列B_1, B_2, \Psi_1, \Psi_2 が一対一に対応する.

  1. Vk次元ベクトル空間, Wr次元ベクトル空間とする.
  2. B_1, B_2: V\to V, \Psi_1: W\to V, \Psi_2: V\to W
  3. [B_1,B_2]+\Psi_1\Psi_2 = 0 cpx equation
  4. [B_1,B_1^\dagger] + [B_2,B_2^\dagger] + \Psi_1\Psi_1^\dagger - \Psi_2^\dagger\Psi_2 = 0 real equation
  5. \mathrm{U}(V)の, (B_1,B_2,\Psi_1,\Psi_2)への作用のstabilizerは自明

12月20日にやったこと

上の条件をみたす行列の全体を\mathrm{U}(V)の作用で割った商空間を M_0^{reg}(k,r)で表わす. cpx equationの左辺を\mu_{\mathbb C}, real equationの左辺を\mu_{\mathbb R}であらわす. さらに, stabilizerが自明という条件をはずしてできる空間を\mathrm{U}(V)の作用で割ってできる空間を M_0(k,r) であらわす.

命題 M_0(k,r) = M_0^{reg}(k,r)\sqcup M_0^{reg}(k-1,r)\times{\mathbb R}^4\sqcup M_0^{reg}(k-2,r)\times S^2{\mathbb R}^4\sqcup\cdots\sqcup M_0^{reg}(0,r)\times S^k{\mathbb R}^4 M_0(k,r)M_0^{reg}(k,r)のUhlenbeck部分コンパクト化という.

定理Donaldson M_0(k,r)は, \mu_{\mathbb C}^{-1}(0)\mathrm{GL}(V)で幾何学的不変式論の意味で割ってできる, アファインGIT商である.

次の条件を満たす行列の四つぐみ (B_1,B_2,\Psi_1,\Psi_2)\mathrm{GL}(V)の作用で割ってできた商空間をM(k,r)で表わす.

  1. \mu_{\mathbb C} = 0 cpx equation
  2. \Psi_1の像を含み, B_1, B_2で不変な部分空間は存在しない.
r=1のときは二番目の条件は, cyclic vectorの条件に他ならない.

定理 1 M(k,r)はnonsingular complex manifold of dimension 2kr

2 \pi: M(k,r)\to M_0(k,r)という固有な連続写像実はprojectiveな正則写像が自然に定義される.

3 M(k,r)は, {\mathbb C}P^2上のrank r, c_2=kのtorsion free sheaf Eと, 無限遠直線 \ell_\infty上の自明化 \varphi: E|_{\ell_\infty}\cong {\mathcal O}_{\ell_\infty}^rの組の モジュライ空間 枠付きモジュライ空間に同型.


1月10日にやったこと

§8. Nekrasovの分配関数

\iota_0: \{ 0\} = M_0(n,r)^{\widetilde T} \to M_0(n,r)を固定点 集合の埋め込み写像とする. このとき (\iota_{0*})^{-1}[M_0(n,r)]\in {\mathfrak S}_{\widetilde T}={\mathbb Q}(\varepsilon_1,\varepsilon_2,a_1,\dots,a_r) と, Uhlenbeck部分コンパクト化M_0(n,r)の基本類を局所化定理で有理関数とみなしたものを考える. このとき, その母関数 Z^{inst}(\varepsilon_1,\varepsilon_2,\vec{a};q) = \sum_k q^k (\iota_{0*})^{-1}[M_0(n,r)] がNekrasovの分配関数である. このときNekrasovの予想は, \log Z^{inst}(\varepsilon_1,\varepsilon_2,\vec{a};q) = \frac1{\varepsilon_1\varepsilon_2} F_0^{inst} + higher という展開を持って, F_0^{inst}はリーマン面の周期によって定義されるSeiberg-Wittenのプレポテンシャルである, というものである. Giesekerの部分コンパクト化 M(n,r)と可換図式 \begin{array}{lcr}H^{\widetilde T}_*(M(n,r)^{\widetilde T})&\longrightarrow[75]^{\iota_*}&H^{\widetilde T}_*(M(n,r))\\ \longdownarrow[50]^{\pi_*}&&\longdownarrow[50]_{\pi_*}\\ H^{\widetilde T}_*(\mathrm{pt})&\longrightarrow[75]_{\iota_{0*}}&H^{\widetilde T}_*(M_0(n,r))\end{array} により, Z^{inst}(\varepsilon_1,\varepsilon_2,\vec{a};q) = \sum_{\vec{Y}} \frac{q^{|\vec{Y}|}}{e(T_{\vec{Y}}M(n,r))} が分かる. ただし, \vec{Y}は, M(n,r)の固定点と見なした. e(T_{\vec{Y}}M(n,r))は, 組み合わせ論的に書けるものなので, 右辺はqの巾が小さいところから順番に計算することができる. しかし, Nekrasovの予想は, すべてのqの巾に関わるものであることに注意する.

1月24日にやったこと

N-YoshiokaによるNekrasovの証明の概略

{\mathbb P}^2の原点におけるblowup \widehat{\mathbb P}^2を考える. そして, その上のframed torsion free sheafのモジュライ空間 \widehat M(n,k,r)を考える. ただし, k = \langle c_1(E),[C]\rangle, n = \langle c_2(E) - \frac{r-1}{2r} c_1(E)^2,[{\mathbb P}^2]\rangle, r = rank Eである.

\widehat\pi: \widehat M(n,k,r)\to M_0([n],r)というproperな 連続写像が存在することが示される. ここで, kは, 0\le k < rを満たすものとし, [n] = n - \frac{k(r-k)}{2r}と約束した.

このとき, \mathfrak E\widehat{\mathbb P}^2\times\widehat M(n,k,r)上 のuniversal sheafとして, Donaldsonの\mu-mapを \mu(C) = c_2(\mathfrak E) - \frac{r-1}{2r} c_1(\mathfrak E)^2/[C] によって定義する. ただし, すべては\widehat{T}-同変コホモロジー類で 考える.

このときblowup上の同変Donaldson不変量として, Z_{c_1=k}^{inst}(\varepsilon_1,\varepsilon_2,\vec{a};q,t) = \sum_{n,d} q^n \frac{t^d}{d!}\iota_{0*}^{-1}\widehat\pi(\mu(C)^d\cap[\widehat M(n,k,r)]) を考える.

証明は二つの部分を組み合わせてできる.

1,2を組み合わせると, Z^{inst}(\varepsilon_1,\varepsilon_2,\vec{a};q)が ある種の関数方程式を満たすことが従い, その方程式からZ^{inst}qの巾の係数が低い方から順番に決まることが分かる. したがって, 解は一意である.

この方程式を使うと, \varepsilon_1\varepsilon_2\log Z^{inst}\varepsilon_1, \varepsilon_2 = 0で正則であることが分かり, さらに F_0^{inst}がある微分方程式を満たすことも分かる. Seiberg-Wittenのプレポテンシャルも同じ微分方程式を満たすことが知られているので, 証明が完結する.


このページの数式は, MathJaxを用いて書かれています
nakajima@math.kyoto-u.ac.jp