2007年度前期講義「微分幾何学 II」

目次

授業内容

参考書

• なし

4月10日にやったこと

参考文献

• V.Ginzburg and E.Vasserot, Langlands reciprocity for affine quantum groups of type $A_n$, International Math. Research Notices (1993) No.3, 67--85.
• V.Ginzburg, N.Reshetikhin, and E.Vasserot, Quantum groups and flag varieties, in ``Mathematical aspects of conformal and topological field theories and quantum groups'' (South Hadley, MA, 1992), 101--130, Amer. Math. Soc., 1994.
• E.Vasserot, Affine quantum groups and equivariant $K$-theory, Transformation Groups \bf 3 (1998), 269--299.
• 中島, Quiver varieties and finite dimensional representations of quantum affine algebras, 数理研講究録1124, 群の表現および非可換調和解析研究集会, 数理研, 1999年8月 数理研

4月17日にやったこと

• 有限集合の上の関数に関する convolution
• Borel-Moore homology
• Borel-Moore homology上のconvolution
• Grassmann の余接束を用いたconvolutionによる $sl_2$ の表現の構成

4月24日にやったこと

• 代数多様体の上の連接層の K 群について
  • 引き戻し, 押し出し写像, 交叉
  • 合成積
  • singular Riemann-Roch と, Borel-Moore homology の合成積との可換性
• 代数多様体の上の同変 K 群について
  • 局所化定理
  • 合成積との可換性

• 定義
• ${\mathfrak M}(V,W)$, ${\mathfrak M}_0(V,W)$
• 例. Grassman の余接束

5月1日にやったこと

• ${\mathfrak L}(V,W) = \pi^{-1}(0)$ は ラグランジアン
• ${\mathbb C}^*$作用に関する極限が存在する点の集合と一致
• より一般のファイバー $\pi^{-1}(x)$ は, 別のグラフに対する箙多様体と同型.
• $Z(V^1,V^2,W) = {\mathfrak M}(V^1,W)\times_{{\mathfrak M}_0(V_1\oplus V_2,W)} {\mathfrak M}(V^2,W)$, $Z(W) = \bigsqcup Z(V^1,V^2,W)$
• $\overset{\bullet}{U}$ : modifed enveloping algebra の定義
• 定理
  1. $\overset{\bullet}{U} \to \widetilde H_{\text{top}}(Z(W))$ への準同型が存在する.
  2. $H_{\text{top}}({\mathfrak L}(W))$ は, $\mathfrak g$の表現として 可積分最高ウェイト表現で, その最高ウェイトは $\sum_i \dim W_i \Lambda_i$ である.
• $a_\lambda$ の行き先は, 対角線集合の基本類
• $e_i a_\lambda$ の行き先は, Hecke 対応 ${\mathfrak P}_i(V,W)$ の基本類

5月8日にやったこと

• Hecke対応の定義 ($e_i a_\lambda$の行き先になる)
• Brill-Noether locus の定義
• Brill-Noether locus の `induction' (--> 柏原クリスタル)
• induction を用いた上の定理の2の証明
• 定理
  1. $\overset{\bullet}{U}^{\mathbb Z}_q({\mathbf L}{\mathfrak g}) \to K^{{\mathbb C}^*\times G_W}(Z(W))$ への準同型が存在する.
  2. $R({\mathbb C}^*\times G_W) \overset{\bullet}{U}^{\mathbb Z}_q({\mathbf L}{\mathfrak g})[0] = K^{{\mathbb C}^*\times G_W}({\mathfrak L}(W))$. (最高ウェイト性の類似)

5月22日にやったこと

• $\overset{\bullet}{U}^{\mathbb Z}_q({\mathbf L}{\mathfrak g})$-加群について
  • $\ell$-highest weight module の定義
  • Drinfeld多項式
• ${\mathfrak M}_0(\infty,W)$のstratificationについて
  • ${\mathfrak M}_0(\infty,W)$の元の分解について
  • ${\mathfrak M}_0^{\text{reg}}(\infty,W)$の定義

5月29日にやったこと

• グラフが有限型のとき $${\mathfrak M}_0(\infty,W) = \bigsqcup_V {\mathfrak M}_0^{\text{reg}}(V,W)$$ ただし, $W-V$ は dominant
• グラフがアファイン型のとき $${\mathfrak M}_0(\infty,W) = \bigsqcup_V {\mathfrak M}_0^{\text{reg}}(V,W)\times S^n_\lambda({\mathbb C}^2/\Gamma\setminus 0)$$ ただし, $W-V$ は dominant で $V\neq 0$のときは $(W-V,\delta) > 1$, $\lambda$は$n$の分割で, $S^n_\lambda({\mathbb C}^2/\Gamma\setminus 0) = \{ \sum\lambda_k p_k \mid p_k\in {\mathbb C}^2/\Gamma \setminus 0 $で互いに異なる $\}$
• ${\mathfrak M}(V,W)$ と framed torsion free sheaf のモジュライ空間
• $H_{\text{top}}(\pi^{-1}(x))$ の構造.
  • 上のアファインの場合の stratum に属する点のとき, $\pi^{-1}(x)\cap {\mathfrak M}(V+|\lambda|{\mathbb C}_\delta,W)$ は既約になる。それを $Q_x$ で表わしたとき, $H_{\text{top}}(\pi^{-1}(x))$ は, 基本類 $[Q_x]$ を最高ウェイトベクトルにもつ可積分最高ウェイト表現になる。
  • 但し, ${\mathbb C}_\delta$は虚ルート $\delta$に対応するアファイン箙の表現

6月12日にやったこと

• Ginzburg による convolution algebra の解析
• ${\mathbb C}^*\times G_W$ の semisimple な元 $a=(\varepsilon,s)$ を取っ たとき、箙多様体 ${\mathfrak M}(V,W)$ の $a$ に関する固定点集合 ${\mathfrak M}(V,W)^a$ を考える。
  • その$K$群 $\bigoplus_V K({\mathfrak M}(V,W)^a)$ は、 $\left.\overset{\bullet}{U}^{\mathbb Z}_q({\mathbf L}{\mathfrak g})\right|_{q=\varepsilon} = U_{\varepsilon}({\mathbf L}{\mathfrak g})$-加群になる。
  • 固定点集合の記述
  • $V^\bullet$, $W^\bullet$ を $I\times {\mathbb Z}$ もしくは $I\times {\mathbb Z}/N$-graded ベクトル空間として、それに応じて、graded / cyclic quiver variety${\mathfrak M}^\bullet (V^\bullet,W^\bullet)$ の定義

6月19日にやったこと

• 直和因子$K({\mathfrak M}^\bullet (V^\bullet,W^\bullet))$ は、 $U_{\varepsilon}({\mathbf L}{\mathfrak g})$の$\ell$-ウェイト加群である。
• $W^\bullet-V^\bullet$ が $\ell$-dominant であることの定義
• $\pi: {\mathfrak M}^\bullet (W^\bullet)\to {\mathfrak M}_0(\infty,W^\bullet)$による定数層の順像の直和因子として現れる 偏屈層の全体を $\mathcal P$ で表わす。これは、Ginzburg の解析で重要である。
• ${\mathfrak g}$ は有限型であるか、もしくはアファイン型でかつ$\varepsilon$は$1$のべき根ではないと仮定する。 このとき $\mathcal P$ は、さまざまな stratum ${\mathfrak M}_0^{\bullet\text{reg}} (V^\bullet,W^\bullet)$の上の定数層に対応する交叉コホモロジー複体である。
• 従って各 ${\mathfrak M}_0^{\bullet\text{reg}} (V^\bullet,W^\bullet)$ (空集合でないものだけを取る) に対して、convolution algebra の既約加群 $L_{V^\bullet}$ が存在する。これは、$U_{\varepsilon}({\mathbf L}{\mathfrak g})$の表現と見ても既約である。
• Ginzburgの理論により、 各stratum ${\mathfrak M}_0^{\bullet\text{reg}} (V^\bullet,W^\bullet)$から 点 $x_{V^\bullet}$を取り、標準加群 $H_*(\pi^{-1}(x_{V^\bullet}))$ を考えると、 これを表現のアーベル圏のGrothendieck群の中で分解するときの重複度は $\dim H^*(i_{x_{V^\bullet}}^! L_{U^\bullet})$ で与えられる。

7月3日にやったこと

• $\mathcal P$ の対象のshiftの直和として現れるような半単純複体のなす部分圏を${\mathcal Q}$とし、そのGrothendieck群を $K({\mathcal Q})$とする。${\mathcal P}$(の同型類)を基底とする自由 ${\mathbb Z}[t,t^{-1}]$-加群になる。
• $H^*(i_{x_{V^\bullet}}^! L_{U^\bullet})$のPoincare多項式を考えることによって、$K(\mathcal Q)\to \bigoplus_{V^\bullet} {\mathbb Z}[t,t^{-1}]$ができるが、 これは三角性が成り立ち、同型である。
• 右側の標準基底を $M_{V^\bullet}$で表わす。重複度は $M_{V^\bullet}$と、$L_{V^\bullet}$の基底の変換行列を計算し、$t=1$とおけばよい。
• $K({\mathcal Q})$は、Verdier 双対に由来する bar-involution を持つ。
• Kazhdan-Lusztig多項式の定義を真似ることにより、 $$\overline{M_{V^\bullet}} = \sum_{U^\bullet} U_{V^\bullet U^\bullet}(t) M_{U^\bullet}$$ を計算すれば、$L_{V^\bullet}$が$M_{V^\bullet}$を用いて計算できる。
• あらたに、$\pi: {\mathfrak M}^\bullet(V^\bullet,W^\bullet)\to\overline{{\mathfrak M}_0^{\bullet\text{reg}} (V^\bullet,W^\bullet)}$ による定数層(を次元分だけshiftしたもの)の順像を、$X_{V^\bullet}$と定める。これも$K({\mathcal Q})$の基底になる。
• $\overline{X_{V^\bullet}} = X_{V^\bullet}$ であることから、 $X_{V^\bullet}$ と $M_{V^\bullet}$の基底の変換行列を計算できれば、 $\overline{M_{V^\bullet}}$を計算できる。
• $X_{V^\bullet}$ と $M_{V^\bullet}$の基底の変換行列の成分は、graded/cyclic quiver variety の central fiber ${\mathfrak L}^\bullet(V^\bullet,W^\bullet)$ の ポアンカレ多項式に他ならない。(いろいろな $V^\bullet$, $W^\bullet$ について考える。)
• このポアンカレ多項式は、次の三段階で計算できる。
  • $\varepsilon$が$1$のべき根でない場合への帰着
  • $\dim W^\bullet = 1$ の場合への帰着
  • Brill-Noether 理論を用いて、この場合に計算する。

7月10日にやったこと

• ポアンカレ多項式の計算の Step 3 の説明を完了
  • 今の場合、${\mathfrak L}^\bullet(W^\bullet) = {\mathfrak M}^\bullet(W^\bullet)$になっている。
  • Brill-Noether locus ${\mathfrak M}_{i;(n_k)}^\bullet(V^\bullet,W^\bullet)$ の virutal Hodge多項式を、帰納法により計算する。
  • $V^\bullet\neq 0$ であれば、ある $i$ が存在して、${\mathfrak M}_{i;(0)}^\bullet(V^\bullet,W^\bullet) = \emptyset$ であることがキーの一つ。
• Step 2 について、より詳しく説明
  • $W^\bullet = W^{1\bullet}\oplus W^{2\bullet}$ と分解したとする。
  • $\widetilde{{\mathfrak Z}}^\bullet(W^{1\bullet};W^{2\bullet})$の定義
  • $$\widetilde{{\mathfrak Z}}^\bullet(W^{1\bullet};W^{2\bullet})\cap {\mathfrak M}^\bullet(V^\bullet,W^\bullet) = \bigcup_{V^\bullet = V^{1\bullet}\oplus V^{2\bullet}}\widetilde{{\mathfrak Z}}^\bullet(V^{1\bullet};V^{2\bullet};W^{1\bullet};W^{2\bullet})$$ の定義
  • $\widetilde{{\mathfrak Z}}^\bullet(V^{1\bullet};V^{2\bullet};W^{1\bullet};W^{2\bullet})\to {\mathfrak L}^\bullet(V^{1\bullet},W^{1\bullet})\times {\mathfrak L}^\bullet(V^{2\bullet},W^{2\bullet})$は、ベクトル束になっている。
  • $\widetilde{{\mathfrak Z}}^\bullet(W^{1\bullet};W^{2\bullet})$ の virtual Hodge 多項式が計算できる。
• $U_{\varepsilon}({\mathbf L}{\mathfrak g})$-加群の表現環の$t$-変形 $\operatorname{Rep}_t(U_{\varepsilon}({\mathbf L}{\mathfrak g}))$が定まる。
• 積は、上のvirtual Hodge多項式で定義できる。
• もう一つ、perverse sheafの図式を使っても定義できる。
  • ${\mathfrak Z}^\bullet_0(W^{1\bullet};W^{2\bullet})$の定義
  • $i: {\mathfrak Z}^\bullet_0(W^{1\bullet};W^{2\bullet})\to {\mathfrak M}_0^\bullet(W^\bullet)$
  • $p: {\mathfrak Z}^\bullet_0(W^{1\bullet};W^{2\bullet})\to {\mathfrak M}_0^\bullet(W^{1\bullet})\times {\mathfrak M}_0^\bullet(W^{2\bullet})$
  • $\operatorname{res} = p_! i^* : D^b({\mathfrak M}_0^\bullet(W^\bullet))\to D^b({\mathfrak M}_0^\bullet(W^{1\bullet})\times {\mathfrak M}_0^\bullet(W^{2\bullet}))$ によって、${\mathcal Q}_{W^\bullet}$ が ${\mathcal Q}_{W^{1\bullet}}\otimes {\mathcal Q}_{W^{2\bullet}}$にうつされる。
  • よって $K({\mathcal Q}_{W^\bullet})\to K({\mathcal Q}_{W^{1\bullet}})\otimes K({\mathcal Q}_{W^{2\bullet}})$が定義される。
  • これは、$\operatorname{Rep}_t(U_{\varepsilon}({\mathbf L}{\mathfrak g}))$の積の双対である。