2010年度前期講義「微分幾何学II」

お知らせ

4月13日(火)開講
講義室が3号館108に変更になりました。
5月25日は、休講の予定

授業の概要・目的

二次元複素平面上の点のHilbert概型について、特にそのコホモロジー群の構造を中心に解説する。96年ごろにハイゼンベルグ代数の表現の構造が定義されたが、それ以降、頂点作用素の理論を動機付けとして得られた様々な結果が得られた。これらをできる限り、self-containedに解説する。

授業計画と内容

以下のような順番で、一項目あたり、１～２回の授業をする予定である。

複素平面上の点のHilbert概型の定義、行列による表示式
滑らかさの証明、トーラス固定点、接空間の計算
ベッチ数を求める
合成積によるハイゼンベルグ代数の表現の構成
直線の対称積と頂点作用素(の半分)の関係
ビラソロ代数の表現の構成
同変(コ)ホモロジーの定義の復習
コホモロジー環の決定
頂点作用素の幾何学的な構成

履修要件

幾何学I,幾何学IIは履修していること。代数幾何に関する知識はあまり仮定しないが、ある程度知っておいたほうが望ましい。

成績評価の方法・基準

授業の際に演習問題を出題するので、それを解いてレポートとして提出すること。それにより評価する。

教科書

　特になし　

参考書等

　99年頃までに知られていた事柄については、　`Lectures on Hilbert schemes of points on surfaces’, Univ. Lecture Series, 18, American Mathematical Society’ 　にまとめられている。

その他・授業外学習の指示・オフィスアワー等

　講義時間以外に、質問をしたい場合は、nakajima@kurims.kyoto-u.ac.jp 宛にメールを送り、コンタクトの時間の希望を述べること。　

4月13日にやったこと

§. Introduction

$n$個の点のなす空間を考える
重複があるときにはどうするか？
対称積
多項式のイデアルのなす空間として, 複素ユークリッド空間上の点のHilbert概型の定義
単項式イデアル

§1. 行列表示

$N$次元複素ユークリッド空間上の$n$個の点のHilbert概型は、

$N$ 個の互いに可換な$n\times n$ 行列 $B_1$, $\dots$, $B_N$
$n$次元ベクトル $i$ で cyclic なもの、すなわち $i$ に $B_\alpha$たちを次々に掛けてできるベクトルたちで $\C^n$ は生成される

という条件を満たす行列とベクトルの全体を

$g(B_1,\dots,B_N,i) = (gB_1 g^{-1},\dots,gB_N g^{-1},gi)$

という $GL_n(\C)$ の自然な作用で割った商空間と同じ。

$N=1$のとき、$B$ の Jordan標準形は特別なものしか出てこない。

行列による記述を使って, $N=2$のときにヒルベルト概型が複素多様体になること、を証明する。(途中で終わった。)

4月20日にやったこと

複素多様体になることの証明の完了. 途中で $X^{[n]}$ が $(B_1,B_2,i,j)$ であって $\tilde\mu(B_1,B_2,i,j) = [B_1,B_2]+ij = 0$と $i$ は $B_1$, $B_2$に関してcyclic vector である、という条件を満たすものの全体を $GL_n(\C)$の作用で割ってできる商空間であることを示した。
接空間は、次の複体の中間のコホモロジーで与えられる: $$\begin{array}{ccccc} {\mathfrak{gl}}(V) & \underrightarrow{\iota} & {\mathfrak{gl}}(V)\times{\mathfrak{gl}}(V)\times V\times V^* & \underrightarrow{d\tilde\mu} & {\mathfrak{gl}}(V)\end{array}$$ ただし、$V$は$n$次元のベクトル空間、$\iota$は$GL(V)$ 作用の微分、$d\tilde\mu$は $\tilde\mu$の微分である。具体的には、 $$\iota(\xi) = ([\xi,B_1], [\xi,B_2], \xi i, - j\xi)$$ $$d\tilde\mu(\delta B_1,\delta B_2,\delta i, \delta j) = [B_1,\delta B_2]+[\delta B_1,B_2]+i\cdot \delta j+\delta i\cdot j$$ で与えられる。

このページの数式は, mathjaxを用いて書かれています

nakajima@math.kyoto-u.ac.jp