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2010年度前期講義「微分幾何学II」
目次
開講のお知らせ
4月13日
4月20日
お知らせ
- 4月13日火開講
- 講義室が3号館108に変更になりました。
- 5月25日は、休講の予定
授業の概要・目的
二次元複素平面上の点のHilbert概型について、特にそのコホモロジー群の構造
を中心に解説する。96年ごろにハイゼンベルグ代数の表現の構造が定義された
が、それ以降、頂点作用素の理論を動機付けとして得られた様々な結果が得ら
れた。これらをできる限り、self-containedに解説する。
授業計画と内容
以下のような順番で、一項目あたり、1~2回の授業をする予定である。
- 複素平面上の点のHilbert概型の定義、行列による表示式
- 滑らかさの証明、トーラス固定点、接空間の計算
- ベッチ数を求める
- 合成積によるハイゼンベルグ代数の表現の構成
- 直線の対称積と頂点作用素の半分の関係
- ビラソロ代数の表現の構成
- 同変コホモロジーの定義の復習
- コホモロジー環の決定
- 頂点作用素の幾何学的な構成
履修要件
幾何学I,幾何学IIは履修していること。代数幾何に関する知識はあまり仮定し
ないが、ある程度知っておいたほうが望ましい。
成績評価の方法・基準
授業の際に演習問題を出題するので、それを解いてレポートとして提出すること。それにより評価する。
教 科 書
特になし
参考書等
99年頃までに知られていた事柄については、
`Lectures on Hilbert schemes of points on surfaces’, Univ. Lecture Series, 18, American Mathematical Society’
にまとめられている。
その他・授業外学習の指示・オフィスアワー等
講義時間以外に、質問をしたい場合は、nakajima@kurims.kyoto-u.ac.jp 宛
にメールを送り、コンタクトの時間の希望を述べること。
4月13日にやったこと
§. Introduction
- n個の点のなす空間を考える
- 重複があるときにはどうするか?
- 対称積
- 多項式のイデアルのなす空間として, 複素ユークリッド空間上の点のHilbert概型の定義
- 単項式イデアル
§1. 行列表示
N次元複素ユークリッド空間上のn個の点のHilbert概型は、
- N 個の互いに可換なn\times n 行列 B_1, \dots, B_N
- n次元ベクトル i で cyclic なもの、すなわち i に B_\alphaたちを次々に掛けてできるベクトルたちで \C^n は生成される
という条件を満たす行列とベクトルの全体を
- g(B_1,\dots,B_N,i) = (gB_1 g^{-1},\dots,gB_N g^{-1},gi)
という GL_n(\C) の自然な作用で割った商空間と同じ。
- N=1のとき、B の Jordan標準形は特別なものしか出てこない。
行列による記述を使って, N=2のときにヒルベルト概型が複素多様体になるこ
と、を証明する。途中で終わった。
4月20日にやったこと
複素多様体になることの証明の完了. 途中で X^{[n]} が
(B_1,B_2,i,j) であって \tilde\mu(B_1,B_2,i,j) = [B_1,B_2]+ij = 0と
i は B_1, B_2に関してcyclic vector である、という条件を満たすものの全体を
GL_n(\C)の作用で割ってできる商空間であることを示した。
接空間は、次の複体の中間のコホモロジーで与えられる:
\begin{array}{ccccc} {\mathfrak{gl}}(V) & \underrightarrow{\iota} & {\mathfrak{gl}}(V)\times{\mathfrak{gl}}(V)\times V\times V^* & \underrightarrow{d\tilde\mu} & {\mathfrak{gl}}(V)\end{array}
ただし、Vはn次元のベクトル空間、\iotaはGL(V) 作用の微分、d\tilde\muは
\tilde\muの微分である。具体的には、
\iota(\xi) = ([\xi,B_1], [\xi,B_2], \xi i, - j\xi)
d\tilde\mu(\delta B_1,\delta B_2,\delta i, \delta j) = [B_1,\delta B_2]+[\delta B_1,B_2]+i\cdot \delta j+\delta i\cdot j
で与えられる。
このページの数式は, mathjaxを用いて書かれています
nakajima@math.kyoto-u.ac.jp