1999年度後期講義「微分幾何学入門」

目次

10月4日(月)開講

2000年1月17日が最終講の予定. 単位は試験で認定する.

• 小林昭七: 曲線と曲面の微分幾何(改訂版), 裳華房
• 砂田利一: 曲面の幾何, 岩波講座 現代数学への入門
• 森田茂之: 微分形式の幾何学2, 岩波講座 現代数学の基礎

10月4日にやったこと

• 球面の二点を結ぶ長さが最短の曲線が大円であることの証明
• Poincare円板の定義, および長さが最短の曲線が境界と垂直に交わる円であることの証明

10月18日にやったこと

• 直線の満たす微分方程式 d^2 c(t)/dt^2 = 0 を変分法で導く
• 曲線に沿った共変微分 ∇ の定義
• 変分法による測地線の方程式 ∇/dt (dc(t)/dt) = 0 の導出

10月25日にやったこと

• 曲線に沿ったベクトル場が平行であることの定義
• 平行なベクトル場の全体が接空間と同型な線形ベクトル空間であること

• R^3内の曲面について復習
• 法ベクトルの定義, 型作用素の定義
• ガウス曲率, 平均曲率の定義
• 幾つかの例で計算

11月1日にやったこと

• 第一, 第二基本形式の定義

• 曲面上の orthnormal fram e_1, e_2, e_3 (= 法ベクトル) を取る.
• その微分 d e_1, d e_2, d e_3 を考えて, 接続形式 ω を d e_i = Σ_{j=1}^3 ω_i^j e_j で定義する. ω = (ω_i^j) は, 交代行列である.
• ▽ e_1, ▽ e_2 を d e_1, d e_2 の接空間への直交射影として定義. ▽ e_i = Σ_{j=1}^2 ω_i^j e_j が成り立つ.
• 接続形式のゲージ変換について. ω' = dg g^{-1} + gω g^{-1}
• e_1, e_2 の双対基底 θ^1, θ^2 を取ると, 第一構造方程式 dθ^i = Σ_{j=1}^2 θ^j ∧ ω^i_j, 0 = Σ_{j=1}^2 θ^j ∧ ω^3_j が成り立つ.

11月8日にやったこと

• 第二構造方程式 dω_1^2 = -K θ^1∧θ^2
• (∇_X II)(Y,Z) は, X, Y, Z に関して対称である.
• 第一基本形式 Edu^2 + 2F du dv + G dv^2 からLevi-Civita接続が定義される.
• ガウスの驚きの定理: ガウス曲率 K は, 第一基本形式から決まる.

11月15日にやったこと

• 曲面論の基本定理: 第一基本形式と第二基本形式から埋め込みを定める.
• Levi-Civita接続の特徴づけ: X(Y,Z) = (▽_X Y, Z) + (Y, ▽_X Z) と ▽_X Y - ▽_Y X = [X, Y]

11月29日にやったこと

• ミルナー「モース理論」

• リーマン計量, 定義と例
• (r,s)型テンソル φ: X(M) x...x X(M) --> X(M) x...x X(M) の定義
• アファイン接続と捻れ(torsion) T, 曲率(curvature) R テンソル
• リーマン計量から定まるLevi-Civita接続の存在と一意性

12月6日にやったこと

• 写像 f : S --> M に沿ったベクトル場とその共変微分
• 測地線の方程式
• 曲率テンソルの性質

小テストのお知らせ

12月13日にやったこと

12月20日にやったこと

• 小林 昭七 「接続の微分幾何とゲージ理論」裳華房
• 深谷 賢治 「ゲージ理論とトポロジー」シュプリンガー東京

• ベクトル束の定義, その切断の定義
• ベクトル束の例, 接束, 余接束, 双対束, テンソル積, etc
• 変換関数
• 接続の定義
• 接続の局所的な表示

補講のお知らせ

1月17日にやったこと

• 接続形式の変換公式
• 曲率の定義
• 曲率の局所的な表示
• 曲線に沿った平行移動
• 平坦接続とその幾何学的な意味

1月24日にやったこと(補講)

• ベクトル束に値を持つ微分形式と外微分作用素(の拡張)
• Bianchiの恒等式
• 曲率を用いたある閉形式の定義
• 上の閉形式のコホモロジー類は, 接続によらない. これを, ベクトル束のChern類と呼ぶ.
• Chern類の性質1 (naturality, Whitney 和公式)
• Chern類の性質2 (正規化) CP^1 の上のトートロジカル直線束のChern類を計算

試験のお知らせ

試験問題

合格者氏名と講評