インスタントンの数え上げ - Nekrasovの予想, 戸田階層, blowup公式
多様体上のコホモロジー類の積分を計算するのに使われる,
局所化と呼ばれる手法がある.
多様体にトーラスを作用させると,
固定点の情報だけで積分が書けるというものである.
例えばワイルの指標公式は,
旗多様体へのトーラスの作用の固定点を調べること(ワイル群の元と対応する)で幾何学的に導くことができる.
ここでいうインスタントンの数え上げとは,
昨年Nekrasovが考えたもので,
1994年の有名なSeiberg-WittenのN=2超対称ゲージ理論の厳密解と等しい,
と予想した.
Nekrasovの定式化は,
Seiberg-Wittenの理論の数学的な理解に役立つと期待されるだけでなく,
他の理論とのより広い繋がりを示唆する.
実際, 構造群を SU(2) から U(1)にし, `1'よりも一般の微分形式を積分すると,
Okounkov-PandharipandeによるP1のGromov-Witten不変量の計算と一致し,
したがって戸田階層のτ関数で書ける.
またMacdonald多項式への幾何学的なアプローチであるHaimanの理論ともつながっている.
ここでは, これらの結果を紹介し,
さらにNekrasovの計算のより数学的な意味について,
R4=C2のblowupのときの定式化と,
Fintushel-Sternのblowup公式との一致,
などについてしゃべりたい.
nakajima@kusm.kyoto-u.ac.jp