超ケーラー多様体入門, インスタントンと巾零軌道 <script type="text/javascript" async src="https://cdnjs.cloudflare.com/ajax/libs/mathjax/2.7.1/MathJax.js?config=default"> </script> <script type="text/x-mathjax-config"> MathJax.Hub.Config({ tex2jax: { inlineMath: [["$","$"], ["\(","\)"]] }, TeX: { extensions: ["AMSmath.js", "AMSsymbols.js"], Macros: { CC: "{\\mathbb C}", C: "{\\mathbb C}", R: "{\\mathbb R}", Q: "{\\mathbb Q}", Z: "{\\mathbb Z}", cO: "{\\mathcal O}", diag: "\\mathop{\\mathrm{diag}}\\nolimits", np: "[{#1}#2{#1}, 2]", operatorname: ["\\mathrm{#1}",1], } } }); </script> <script type="text/javascript" src="MyConfig.js"> </script> <meta http-equiv="X-UA-Compatible" CONTENT="IE=EmulateIE7" /> </head> <body bgcolor= "#90C0C0"> <center> <h1>超ケーラー多様体入門, インスタントンと巾零軌道 </center> <center> 中島啓 (京大理) </center> <ol> <li> 超ケ─ラ─多様体入門 <li> インスタントンと巾零軌道 </ol> アブストラクト <p> Kronheimer は, Nahm方程式の解, あるいは $\mathbb R^4$上の$SU(2)$-不変なインスタントン解のモジュライ空間が, 複素リー環の巾零軌道(一般には, そのSlodowy slice)になることを証明し, 特に後者が超ケ─ラ─多様体の構造を持つことを証明した. 超ケ─ラ─多様体は, 微分幾何学の片隅で研究されている分野であるが, このように数学の中心分野で研究されている対象が超ケ─ ラ─多様体になることが, ときどき起こる. 他の有名な例が, 非可換ホッジ理論における, 複素射影多様体上の半単純局所系のモジュライ空間である. (Hitchin, 藤木による.) <p> さて, 超ケ─ラ─多様体の理論の応用として, 小林-ヒッチン型の定理と組み合わせると, 二つの一見異る複素多様体が, 実は同じ超ケ─ラ─多様体から来ていることが分かることがある. Vergneは, このアイデアに基づき, Kostant- 関口対応を解釈した. <p> 本講演では, 超ケ─ラ─多様体入門(とはいっても入門以上の理論は存在しない) から始めて, KronheimerやVergneの結果を紹介する予定である. <p> [1] N.J.Hitchin, {\it Monopoles, minimal surfaces and algebraic curves}, S\'eminaire de Math\'ematiques Sup\'erieures {\bf 105}, Les Presses de l'Universit\'e de Montr\'eal, 1987. <p> [2] N.J.Hitchin, A.Karlhede, U.Lindstr\"om and M.Ro\v cek, {\it Hyperk\"ahler metrics and supersymmetry}, Comm. Math. Phys. {\bf 108} (1987), 535--589. <p> [3] P.B. Kronheimer:Instantons and geometry of the nilpotent variety, J. Differential Geom. 32(1990), 473-490. <p> [4] M. Vergne:Instantons et correspondence de Kostant-Sekiguchi, C.R.Acad. Sci. Paris Sr. I Math. 320(1995), 901-906. <hr> 講演予稿 <br> <a href="06_Encounter/Lecture 1.pdf">Lecture 1</a>, <a href="06_Encounter/Lecture 2.pdf">Lecture 2</a> <hr> <address> <a href="mailto:nakajima@math.kyoto-u.ac.jp">nakajima@math.kyoto-u.ac.jp</a> </address>