categorification of knot polynomials, topological strings and refined topological vertex

近年、Khovanovによるsl(2)のJones多項式のcategorification（圏化）に端を発し、結び目不変量の categorificationが盛んに研究されている。一方、これらの拡張された結び目不変量は、位相的弦理論の観点から、BPS状態の数えあげとして理解され、Gopakumar-Vafa不変量、Gromov-Witten不変量との関連が示唆されている。昨年、この結び目不変量を計算するためのテクニックとして、refined topological vertexが提唱されたが、具体的な進展はまだあまりないのが現状である。今回の講演では、これらの話題について概観を試みると同時に、数学サイドでどのような計算が必要とされているかについて述べたい。