2000年度後期講義「幾何学II」

目次

10月6日(金)開講

2000年11月24日は11月祭期間中のため休講. 12月19日(火)16:30〜18:00に補講を行います. 2001年1月19日はセンター試験の前日のため休講. 2001年1月12日(金)が最終講の予定. 単位は試験で認定する. 試験は2001年2月2日(金)の予定

授業内容

• 松本幸夫: 多様体の基礎, 東京大学出版会
• 森田茂之: 微分形式の幾何学1, 岩波講座 現代数学の基礎
• 松島与三: 多様体入門, 裳華房

10月6日にやったこと

• 多様体を貼りあわせで作る. トーラス, メビウスの帯, クラインの壺
• 同値関係と割って出来る空間
• (実)射影空間

10月13日にやったこと

• 位相多様体の定義
• C^∞級微分可能多様体の定義
• 例. R^n, R^n の開集合
• S^n, メビウスの帯, トーラス
• 射影空間の位相

10月20日にやったこと

• 射影空間の同次座標, 非同次座標
• R^nの部分多様体が多様体であること
• 積多様体
• 極大な座標系

• 多様体間の写像がC^∞級であることの定義

10月27日にやったこと

• 多様体上のC^∞級関数
• 射影直線間の多項式写像
• 多様体の開集合上で定義された写像を拡張する

11月10日にやったこと

• 多様体の点pにおける接ベクトルの定義,
• 接ベクトルの全体を接空間といい, T_p M で表わす.
• 座標が与えられたとき, (∂/∂x_1)_p, (∂/∂x_2)_p, ...., (∂/∂x_n)_p と書かれる, 接ベクトルが定義され, T_p Mの基底をなす.
• 二つの座標が与えられたとき, 上の基底の変換行列が座標変換のヤコビ行列で与えられる.

11月17日にやったこと

• f が M 上のC^∞級関数のとき, df_p : T_p M --> R が定まる.
• F : M --> N がC^∞級写像のとき, dF_p : T_p M --> T_F(p) N が定まる.
• 合成写像の微分法則 d(G F )_p = d G_F(p) dF_p
• F : M --> N がはめ込み, 埋め込み, 沈め込み, であることの定義
• F : M --> R^n が埋め込みであることは, 幾何1の意味で多様体であることと同値である. (Exercise)

• ベクトル場の定義
• X, Yベクトル場, f:M --> R C^∞級のとき, X+Y, fX はやはりベクトル場になる.
• ベクトル場による関数の微分 Xf (or X(f))の定義
• X : C^∞(M) --> C^∞(M) が 線形でライプニッツの法則を満たすとき, それはベクトル場が定めるものである.

12月1日にやったこと

• ベクトル場のLieブラケット [X,Y]の定義
• 積分曲線の定義, その存在(ただし常微分方程式の解の存在定理は認める)
• 局所1パラメータ変換群

12月8日にやったこと

• 局所1パラメータ変換群を用いた Xf, [X,Y]の表示式

• グラスマン代数(外積代数)
• 交代形式

12月15日にやったこと

• 外積代数と交代形式の全体の同型写像
• 多様体上の微分形式の定義
• 座標変換での微分形式の変換性

12月19日にやったこと

• 微分形式の引き戻し
• 外微分作用素の定義

12月22日にやったこと

• d f^* = f^* d

• パラコンパクト性と一の分割
• 多様体の向き

1月12日にやったこと

• 積分の定義
• 境界付き多様体
• Stokesの定理

2月2日 試験