線形代数については、あまりに本が多すぎてなんともいえない。個人的な経験からいうと、Jordan標準形の部分が多少面倒なのを別にすれば線形代数で学ぶべきことはそんなにないような気がするので、薄い本でもきちんと理解できれば大概は間に合うと思う。 数学の学生の間で有名なのは、
でしょう。これがちょっと難しいという人には、この内容をもう少し一般向けにしたものに、
がある。私の大学の授業ではこれを使っている先生もおられます。ただ、この本は、最後のJordan標準形のところは、付属の演習書のまえがきで筆者自身も認めているように単因子論をつかっていて、それはそれでいいのですが、本の趣旨とはずれるとおもいます。改訂されるといいのですが、その気配はありません。特徴としては、掃き出し法を前面に押し出しているところでしょうか。
これも多すぎてなんともいえませんね。授業で指定されたものがあるのならそれを使うのがいいのかもしれません。 昔から名著といわれているのは、
ですが、この本については好みが分かれるようです。多くの方は、5章が面白いとおっしゃいます。ある意味、この本は複素関数論を目標に書かれていて、微分方程式などにはほとんど触れられていないので、解析の本としては実は正統派ではないのかもしれない。最後についているルベーグ積分は、 後から付け加えたもので、本の全体の流れの中ではやや異質だ。いつぞやの｢数学のたのしみ」に佐藤先生もそのようなことを書かれていました。わたしは、最初に読んだときには、一般論が面白くて、例の計算をするのが面倒に感じたのですが、むしろ最近は、例として出ているものが面白いと思うようになりました。たとえば、β関数などは、定義を知っただけでは何も面白くないですが、いろんなところに出てくるのを知ると理解が深まると思います。
この本は大昔に読んだものですが、ε-δ論法が非常に分かりやすく説明してあります。数学に興味のある中高生、あるいはε-δ論法で困っている大学生にお勧めです。
たいしたことは知らないのですが、
は、(特に理工系の本によくありがちな)微分方程式の特殊な解法の羅列をするのではなく、線形微分方程式に重点を置き、安定性などの議論や工学への応用まで記した興味深い本である。（ただし、線形代数を多少知っている人にとっては、前半の3分の1ぐらいは随分と退屈ではないかと思われる。）工学への応用では、蒸気機関や真空管の話があり、また最後の章ではlimit cycleの話など、力学系に近い話も書かれている。個人的には、もう少し最初のほうを簡潔にまとめるともっと読みやすいと思うのだが。
やたらと分厚い本はいくらでもありますが、
は非常に読みやすいです。論文や本でよく引用されるのは、
Kelley: General Topology1955 edition 1975 edition
です。検索すると洋書のほうは二つ検索にかかりますが、古いEditionのほうが少し安いように思えます。和訳も出ていたはずですが、絶版になってしまったのか検索にはヒットしません。
最近全然勉強していないのですが、
前田周一郎：関数解析（森北出版）
は、ほかの本に書いていないことが書いてあるとおもいます。むかしむかしSさんに教えてもらった、思い出深い本です。しかしもう絶版かもしれません。
やさしめのものとしては、
が、線形代数から関数解析へ至る道を描いていて楽しめる。
ここから先はTopologyというよりは幾何全般にわたっていろいろな本が集めてあります。あまり細かく分類はしていません。
先ずは多様体のことを勉強しないといけない。
は、数多くある多様体の入門書の中で、もっともやさしいといわれている本です（逆にこれがわからないとどうしようもないという話も？）。細かいところまで丁寧に書いてあって読みやすい。個人的には微分形式のあたりとかは丁寧に書きすぎていてちょっと煩わしく感じたが。 単体複体を使ったsingular homologyによるトポロジーの入門としては、例えば
がかなり読みやすいです。
singular (co)homologyではなくde Rham (co)homologyを使った入門書に
があります。確かにde Rhamの方が分かりやすい所はあります。characteristic classes, homotopy theory, spectral sequenceなどについても親切な説明がついています。翻訳の方はあまり薦められない。
characteristic classesにtopologyの立場から入るには、
Milnor/Stasheff: Characteristic Classes（princeton）
が非常に良い。ちょっと前に演習問題の解答つきの日本語訳が出版されました。
同じMilnorの本で、
はやさしくてかつ本質を突いた微分位相幾何の良書です。あまり予備知識がなくてもPontragin constructionまで自然に理解できる。証明を簡略化するために細かいところに気を使っている。薄い本だが侮ってはいけない。
Fiber fundleについては次の2冊を挙げておこう:
題名はFiber Bundlesとなっているが、Fiber Bundle/K-theory/Characteristic Classesの三本立てである。ほとんどいたるところにページ番号や定理番号の間違いが見られ、およそThird Editionとは思えない。あまりにそういう間違えが多いのでそのうち気にもならなくなる。このように体裁の問題はあるが、その内容はきわめて豊富であり、これほどの内容を纏め上げた（悪く言えば詰め込んだ）本は他にはなかなか見当たらないのではないだろうか。ホモトピーについて多少の知識を仮定している。欠点としては、あまりにFormalに過ぎて直観的な理解の助けにはならないことである。このようなタイプの本を読むことは大事だが、それだけに満足していてはいけないとも思う。和訳のほうが英語版より安いのは悩ましいことである。
ファイバーバンドルについての古典。扱っている内容は現代から見ると物足りないが、扱っている話題についてはかなりきちんとした取り扱いがなされている。こちらは英語版が3000円台で手に入る。（但しレートによって変動するのでなんともいえませんが。）
Homotopy論に関しては
が有名である。和訳も出ている。
低次元トポロジーはここ数十年で非常に盛んに研究されている分野である。先ず、3次元の方では、
小島定吉：三次元の幾何学
が、面白くていいです。最後のほうには、量子不変量との関係や、体積予想のことなどホットな話題が書かれています。私はこの本に相当お世話になった。最初の方が簡単そうだからといって馬鹿にしてはいけない。非常に示唆的である。 ただし、証明の細部をほかの文献に依存しているので、ある程度ほかの本を読ん でから出ないと読みずらいと思う。また、ご存知のとうりPerelmanの仕事がその後に出たので、今書くとしたら全く違ったものになると思う。 3次元幾何については、ThustonのLecture Note（今やWeb上で入手可能)がいいのは確かですが。 あれはいわゆる数学の教科書とは全然違いますね。
Casson invariantについては、 Akubulut-McCurthyがおそらくスタンダードでしょう。
はCasson invariantについてのかなり分かりやすい教科書である。但し、Floerの話などは入っていない。
結び目理論は現在3次元多様体論とほぼ一体となって発展しています。結び目理論については
が世界的には恐らく最も標準的だろう。確か和訳も出ている。
日本語で読めるものとしては
河内明夫編: 結び目理論
がよい。何人かの専門家達によるトピックの解説。
は、題名の通りの内容をやさしく説明したものです。しかしLie環のところの説 明は、あまりにもまどろっこしいように感じます。
4次元トポロジーについては、
が所謂Donaldson理論の基礎的な文献である。Kronheimerが加わったから読めるようになったという話もある。とてもいい本ではあるが、どうしても読むのに時間がかかってしまいそう。Seidelが書いていたことでもあるが、若い人はSeiberg-Wittenから入ったりするので、寧ろこの本に書いてあるようなことを知らずに終わってしまうことも多いのかもしれない。
矢野健太郎：Riemann幾何学入門（森北出版）
昔Yさんからいただきました。今はもう売っていないのではないかと思います。内容的には古すぎると思うので、新たに勉強したい人は、ほかの本を読んだほうがよいでしょう。
は、予備知識がほとんど要らないでしょう。Gauss-Bonnetの公式の証明がついています。ただし、知り合いの数学科の人の間では評判があまりよくないように思います。私は旧版しか見ていないのですが、新版では極小局面のことが追加されたそうです。
物理の学生も視野に入れて、Sheaf cohomologyとかを使わないようにしている。あくまでも微分幾何の立場からの入門書。多様体論を何らかの本で勉強していれば、読み始められる程度。慶応や東大での講義録も出版されているので、もしかしたらそれらのほうがわかりやすいかもしれない。Atiyah-Hitchin-Singerの"Self-Duality.."の予備知識として書いたものらしい。ただ私の経験ではこの本は余り読みやすくないように思う。この本でものすごく苦労したものが、他の本ではすんなりいったこともあった。
微分幾何そのものをやりたければ、
がいいのでしょうが。
Symplectic幾何の入門書として代表的なのは、次の3冊であろう：
それぞれに特徴があって長所･短所がある。世界的にもっとも標準的なのはおそらく最初のMacduff-Salmonであろう。ただ某先生曰く、分厚い割に内容が豊富でないとのこと。値段からいったら明らかに深谷先生のがよい（散乱理論とセットになっている）。深谷氏の本はいかにもといった感じの本。私はHofer-Zehnderと深谷を持っている。
物理で少し昔まで（？)有名だったのは、
です。Lie環とLie群とのExpによる対応やLorentz群、球関数の話などもある。これだけでは不足と思うが、最初に読むにはいいのかもしれない。ちなみに、数学者と物理学者の共著となっているが、大部分を書いたのはどちらなのかは内容から明白である。物理的にも数学的にも明らかに不足しているが、入門書としてよい。内容がちょっと古めかしいのが気にはなる。
が、プラグマティックな参考文献として貴重である。ただし、記号などに少し混乱が(といってももちろん著者は混乱していないだろうが)みられ、それほど読みやすくないと思うが、薄い本に本質が詰まっている。今同じような本を書けば、Affine Lie環とかVirasoroの話が入るので結構付けたすことが必要になると思う。（もっとも、そのような本はGeorgiは書かないだろうが。）ちなみに、翻訳も出ている。
は、Lie algebraの本の中でもっとも標準的なものでしょう。これを読めばとりあえず古典的なLie環論は大丈夫でしょう。配列順がよいと思います。中盤は、｢初等的｣と称してやたらと複雑な証明をつけていて、本質が見えずらくなってしまっているように思う。かとおもえば、Lieの原論文から引いてきたらしいぐたぐたした計算を書いてみたりしていて、凝りすぎた感じもある。Cartan Subalgebraの代わりにmaximal toral subgroupを強調しているところなどに特徴もある。竹内外史さんの「リー代数と素粒子論」の種本でもある。
日本語では、
がある。線形代数がわかれば問題なくいけそうです。じつは、これら二つは、非常に似ている。どちらがどちらを基にしたかは、出版年を見ると想像がつく。ほかにも、
やブルバキなどが挙げられます。これらのどれかを終われば（別に順序を踏む必 要はないのですが）、無限次元Lie環の勉強に進みます。 最も標準的なのは、
でしょう。W先生などは、第1版のほうがよいといっておられたように記憶しているので、Birkhauser古い版を読むのももしかしたらいいのかもしれません。おなじKacの本で、Bombayでの講義録がありますが、あれもいいのとか聞きます。 最近、谷崎さんが
をかかれました。この本は、Kacの本と違って、有限次元Lie環の知識がなくても読めるようになっていたと思います。量子群については、
は、非常によく書けた本ですが、計算は大変です。 可解模型については、
があります。佐藤理論については、野海さんのとられた佐藤先生の講義録が、上智から出ていますが、あれがわかりやすいと思います。また、より本格的には、数理解析研究所の講究録（梅田さんがノートを取られたもの）がいいと思われます。あれは私も大部分に目を通しましたが、非常に特徴的な本です（いつぞやの岩波の月報に若山さんがこの本について書かれていました。）。実際に行われた講義のそのままの記録であるので、同じような内容が何度となく繰り返されるなどする部分も多々あるし、整理されていない部分もあるが、その分講師の気魄がひしひしと伝わってくる。TeX化する計画もあるようだが、どうなっているのだろうか。
代数幾何の本については、いつぞやの「数学のたのしみ」の桂先生の記事を参考にされるといいでしょう。
これは、高校生や大学1,2年ぐらいを対象にした、「入門書の入門書｣である。場所によっては、かなり丁寧に(しつこく)繰り返しをいとわず書かれている。現代数学に慣れた人はまどろっこしく感じるかもしれない。内容は、意外と広い。この本の内容は、著者自身も述べているように、
に影響を受けたところが多いように見受けられる。この本は、最初に出たのが1951年となっているので、古典といってもよいだろうが、今日でもなお価値のある本である。前半が付値をつかった代数的理論、後半は解析的理論が述べてある。これは、ちょうど歴史に逆行するようになっているので、最初に読んだときは、付値のところが読みずらく感じられた。しかし、そこを乗り切れば、後はそんなに大変ではないと思う。
は、言わずもがなといった感じです。数学を志すものにとっては憧れの本といってもいいでしょう。但しいきなり読むのは得策ではないかもしれません。非常に優秀な数学者で、この本を通読するのを途中で挫折した人を何人か知っているので、数学者を目指す人でも通読することにこだわることはないかと。辞書代わりに使うという手もあるだろう。確かに例えばHartshorneをちゃんと読もうとすると、どうしてもEGAあたりを参考にせざるを得ない部分もあります。EGAのI巻は書き直されたものがSpringerから出ていますが、私はあんまりありがたみを感じません。応用という意味では、寧ろSGA（例えば4と1/2とか）が必要になることが多いように思います。
は最も標準的な本です。内容は非常に洗練されています。ただし、膨大な量の演習問題に、重要事項があったりするので、自習書向きではないのかもしれない。
は、標準的な教科書への橋渡しを意識して書かれた本。
Hirzebruch:Topological methods in Algebraic Geometry
代数幾何の本としては少し異色。彼の学位論文を基にしていたと記憶している。
P. Griffiths and J. Harris: Principles of Algebraic Geometry (Wiley Classics Library)
忘れてはならないのがこの本である。応用を志す人は、代数から入るよりもこの本のように幾何から入った方がなじみやすいのではないだろうか。特に、弦理論で使うということを考えると、Hartshorneで勉強するよりも複素解析から出発してこの本で勉強した方がいいように思う。値段が高いのがやや難点。
D.A.Cox and S.Katz:Mirror Symmetry and Algebraic Geometry (Mathematical Surveys and Monographs,68)
Mirror Symmetryに関しては現在でも基本的文献としての位置を保っているように思われる。この本で最初に取り上げられた例も多いと聞く。但し、代数幾何的な叙述が中心なので、慣れていないととっつきやすくは無いように感じる。私もまだあまり読んでいない。
は、恐らく代数幾何への応用を意識して書かれている。簡潔でよい。可換環論そのものは、
が個人的な好みですが、大部です。また、この本に書かれていないことが必要になることも結構あるように思います。Index Theorem自体については、Atiyahたちの連作論文を読むのがいいはずです。
Shanahan: The Atiyah-Singer Index Theorem（Springer)
には、指数定理の使い方が書いてあります。
古田幹雄：指数定理I・II（岩波書店）
heat kernelの方法を使っている。注意すべきなのは、この本の内容の大部分はGetzlerたちの本
とかぶっていることである。よって、ある程度以上ちゃんと勉強したいならはじめからGetzlerたちの本を買った方が良いだろう。
は、予備知識があまりいらないいい本です。ただし読みやすくはないように感じる部分がところどころにあるように感じる。Bott periodicityの証明も載っています。（とはいっても、実際には殆どAtiyah-Bottの原論文どおりなのですが。）
pseudo-differential operatorは、指数定理の証明とかKPの話とかいろいろなところに出るけれども、実際の所、非専門家が詳細まで理解しなくてはならない場合は少ないように思う。何か1冊本を読んでおけばとりあえず十分すぎるぐらいではないだろうか。
Last modified on Thursday, 12-Jan-2023 15:10:45 JST
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