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2006年度後期講義「幾何学II」
目次
開講のお知らせ
10月4日
10月11日
10月18日
10月25日
11月1日
11月8日
11月15日
11月22日
11月29日
12月6日
12月13日
12月20日
1月10日
1月17日
試験問題
試験問題解答
10月4日水開講
11月1日に第一回の小テストを行った.
2007年1月17日が最終講
授業内容
多様体の de Rham コホモロジー論の基本的事項である次の事項を解説する。
- 微分形式と de Rham コホモロジーの定義
- コンパクトな台をもつde Rham コホモロジー
- Mayer-Vietris完全列とその応用
- Stokesの定理
- Poincareの補題
また, 特異ホモロジー, コホモロジーの定義を述べ, これらと de Rham コホモロジーの関連を与えるde Rham の定理を紹介する。
参考文献
- R. Bott and L.W.Tu, Differential Forms in Algebraic Topology, GTM 82, Springer-Verlag
成績評価は, 小テストおよび最終テストにより判定する.
10月4日にやったこと
§1. Introduction
PとQを結ぶ曲線 \gammaと 1次微分形式 \alpha が与えられたときに,
線積分
\displaystyle \int_\gamma \alpha
が, \gammaの端点での値 P, Q にしかよらずに決まるときがある。
1 \alphaが閉, すなわち d\alpha = 0のときは,
\gamma を族 \gamma_s で動かしても変わらない.
2 \alphaが完全, すなわち \alpha = d\betaとなる \betaが存在する
ときには, \gammaの取り方にはいっさいよらない. 端の点 P, Qだけで決まる.
多様体Mのドラーム・コホモロジーを
H^p(M;\R) = \frac{\{ \text{closed p-forms} \}}{\{ \text{exact p-forms} \}}
によって定義する.
演習問題 pdf
10月11日にやったこと
一般論
- コチェイン複体の定義, そのコホモロジーの定義
- コチェイン写像の定義と, それがコホモロジーに誘導する写像の定義
C^\infty級写像 f: M\to N があったとき, コホモロジーに
f^*: H^p(N;\R)\to H^p(M;\R)
が誘導される.
コンパクト台のドラーム・コホモロジー
H^p_c (M;\R) = \frac{\{ \text{closed p-forms with compact support} \}}{\{ \text{exact p-forms with compact support} \}}
H^p_c(M;\R)\to H^p(M;\R)という線形写像が定義される.
§2. 微分形式と外微分復習
- グラスマン代数外積代数
- 交代形式
- 外積代数と交代形式の全体の同型写像
- 多様体上の微分形式の定義
- 座標変換での微分形式の変換性
- 外微分作用素の定義
- 微分形式の引き戻し
- d f^* = f^* d
これらについて証明なしに述べた.
演習問題 pdf
10月18日にやったこと
f: M\to Nが固有な写像のとき, f^*: H^k_c(N;\R)\to H^k_c(M;\R)が誘導される.
§3. ポアンカレの補題
台に条件が無い場合
- \pi: M\times \R\to Mを射影, s: M\to M\times \Rをs(x) = (x,0)で定義する.
- H^k(M\times \R;\R) \cong H^k(M;\R)であり, 同型は
\pi^*, s^*で与えられる.
- チェインホモトピーの説明
- \pi^* s^* と恒等写像の間のチェインホモトピーの構成
応用として誘導写像のホモトピー不変性が示された.
コンパクト台の場合
- \pi_*: A^k_c(M\times \R)\to A^{k-1}_c(M) integration along fiberを定義した.
- e = e(t)dt\in A^1_c(\R)で\int_{-\infty}^\infty e = 1となるものを取り, e_*: A^k_c(M)\to A^{k+1}_c(M\times\R)をe_*\alpha = \pi^*\alpha\wedge eで定義した.
- H^{k+1}_c(M\times \R;\R) \cong H^k_c(M;\R)であり, 同型は
\pi_*, e_*で与えられる.
- e_* \pi_* と恒等写像の間のチェインホモトピーの構成
演習問題 pdf
10月25日にやったこと
§4. Mayer-Vietoris完全列
- コチェイン複体の短完全列からコホモロジ─の長完全列を導く.
- M = U\cup V $U$, $V$は開集合のとき
\begin{array}{cccc}0\to & A^k(M) \to & A^k(U)\oplus A^k(V)\to & A^k(U\cap V)\to 0\\ &\alpha\mapsto & \alpha|_U\oplus\alpha|_V & \\ & & \omega\oplus\tau\mapsto& \tau-\omega\end{array}
は短完全列である.
- この短完全列から導かれるコホモロジ─の長完全列が, Mayer-Vietoris完全列である.
- U, Vに適合した1の分割 \rho_U, \rho_Vを用いると,
d^*[\alpha] = \left\{ \begin{array}{cc} - d(\rho_V \alpha) & on U \\ d(\rho_U\alpha) & on V \end{array}\right.
で与えられる.
- H^k(S^1)の計算
- H^k(S^n)の計算
演習問題 pdf
11月1日にやったこと
コンパクト台のMayer-Vietoris完全列
M = U\cup V $U$, $V$は開集合のとき
\begin{array}{cccc}0\leftarrow & A^k_c(M) \leftarrow & A^k_c(U)\oplus A^k_c(V)\leftarrow & A^k_c(U\cap V)\leftarrow 0\\ &\omega+\tau\leftarrow & \omega\oplus\tau & \\ & & -\alpha\oplus \alpha\leftarrow& \alpha\end{array}
は短完全列である. ただし定義域の外へは$0$とおくことで, おおきな定義域のところまで拡張している.
これから誘導される長完全列が
コンパクト台のMayer-Vietoris完全列である.
d_*[\omega] = [- d(\rho_U\omega)] = [ d(\rho_V \omega)]
で与えられる.
§5. 微分形式の積分とStokesの定理復習
- 1の分割二つのversion
- 多様体の向き
- 積分の定義
- Stokesの定理
小テストとその解答pdf
11月8日にやったこと
§6. Mayer-Vietoris argument
- good coverの定義
- 多様体 M が有限の good coverを持つとき, H^*(M;\R)は有限次元である.
- n次元多様体 M は, 向きづけられており, 有限の good coverを持つとする. このとき, H^k(M;\R)とH^{n-k}_c(M;\R)は, 次のpairing によって互いに双対空間になる.
H^k(M;\R)\otimes H^{n-k}_c(M;\R)\ni [\alpha]\otimes[\beta] \mapsto \langle[\alpha],[\beta]\rangle = \int_M \alpha\wedge\beta
- K\"unneth の公式 多様体 M が有限の good coverを持つとき,
H^k(M\times F;\R) \cong \bigoplus_{p+q=k} H^p(M;\R)\otimes H^q(F;\R)
演習問題 pdf
11月15日にやったこと
- 閉部分多様体Sのポアンカレ双対 \eta_S\in H^k(M)
- コンパクトな部分多様体のポアンカレ双対 \eta_S\in H^k_c(M)
- カレントと, そのコホモロジー
- Mが向きづけられており有限のgood coverを持つとする. このときドラームコホモロジーとカレントのコホモロジーは同型になる.
- H^*(M)は微分形式の外積により [\alpha]\wedge[\beta] = [\alpha\wedge\beta]として, 環構造を持つ. しかしカレントのコホモロジーからはこの構造は見えない.
環構造については, もっと前に説明すべきであった.
§7. Thom同型
- ベクトル束の定義
- 局所自明化, 変換関数
- 切断, 枠
- 例. 多様体Mの接束T_M, メビウスの帯
演習問題 pdf
11月22日にやったこと
- バンドル写像, ベクトル束の同型の定義
- ベクトル束の向きづけの定義
- ベクトル束の直和, テンソル積, 双対束, 外積束の定義
- C^\infty写像による誘導束の定義
- ホモトッピックな写像f_0, f_1による引き戻し f_0^{-1}E, f_1^{-1}Eは同型である.
- \pi: E\to Mをベクトル束とするとき
H^k(E;\R)\cong H^k(M;\R)
で, 同型写像は \pi^*, s^* $s$は$0$切断 で与えられる.
- Mが向きづけられた, 有限の good coverをもつC^\infty多様体で, Eがその上の向きづけられたベクトル束とすると
H^k_c(E;\R) \cong H^{k-n}_c(M;\R)
が, 上の同型のポアンカレ双対として成立する.
- ファイバー方向にコンパクトな台をもつコホモロジー H^*_{cv}(E) の定義
- Eが向きづけられているとき, \pi_*: A^k_{cv}(E)\to A^{k-n}(M)が定義され, H^k_{cv}(E)\to H^{k-n}(M)が誘導される.
- projection formula
\pi_*(\pi^*\tau\wedge\omega) = \tau\wedge\pi_*\omega
\int_E \pi^*\tau\wedge\omega = \int_M \tau\wedge\pi_*\omega
演習問題 pdf
11月29日にやったこと
- 定理. Mが有限なgood coverを持つとする. Eを向きづけられた階数nのベクトル束とするとき,
H^k_{cv}(E) \cong H^{k-n}(M)
が成り立つ. ただし左から右への写像は \pi_* で与えられる.
- \pi_*: H^n_{cv}(E) \to H^0(M)の1の逆像をEのトム類といい
\Phi(E)で表わす.
- \Phi(E)の特徴づけ
- トム類の自然性, Whitney和公式
- S^k\subset M^nが閉部分多様体であるとすると, 管状近傍Uで法束N = TM/TSと微分同相なものが存在する.
- このとき, Nのトム類をU上の微分形式で, Uのはじの方では0になっているものであらわす. この微分形式をUの外で0とおいてM全体に拡張し, そのコホモロジー類をとったものは, Sのポアンカレ双対である.
- 二つの部分多様体 R, Sが横断的に交わっているとは, x\in R\cap Sで
T_x R + T_x S = T_x Mが成立しているときをいう. このときR\cap Sは部分多様体になり, ポアンカレ双対の間に
\eta_{R\cap S} = \eta_R \wedge \eta_S
という関係が成り立つ. ただし$R\cap S$には向きを適当に入れる.
演習問題 pdf
12月6日にやったこと
§8. The generalized Mayer-Vietoris principle
- 二重複体
- 多様体 M の開被覆 \{ U_\alpha\}_{\alpha\in A} を取ったとき,
U_{\alpha_0\cdots\alpha_p} = U_{\alpha_0}\cap\cdots\cap U_{\alpha_p}とおき,
K^{p,q} = \prod_{\alpha_0 < \cdots < \alpha_p} A^q(U_{\alpha_0\cdots\alpha_p})
と定義し, d: K^{p,q}\to K^{p,q+1} は, 外微分作用素とし, \delta: K^{p,q}\to K^{p+1,q} は
(\delta\omega)_{\alpha_0\cdots\alpha_{p+1}} = \sum_{i=0}^{p+1} (-1)^i \omega_{\alpha_0\cdots\widehat{\alpha_{i}}\cdots\alpha_{p+1}}
によって定義する. これは二重複体になる.
- 二重複体の左横に一列足したものを考えたとき, 横に完全ならば, 二重複体の total cohomology は, 足したもののコホモロジーに等しい. 上の例のときは,
(A^{q}(M),d) を足したものは, その性質を持つ. したがって total cohomology はドラーム・コホモロジーH^*(M;\R) と同型である.
- \{ U_\alpha\}_{\alpha\in A} が good cover のときは, 上の二重複体の下に
{\mathcal C}^p({\mathcal U};\R) := \{ \text{locally constant function on } U_{\alpha_0\cdots\alpha_p} \}
を付け加えたものも, 縦横入れ替えて同じ性質をもつ. よって total cohomology は上の ({\mathcal C}^*({\mathcal U};\R),\delta)からできるコホモロジーチェック・コホモロジーというと同型である. 二つ合わせて, ドラーム・コホモロジーとチェック・コホモロジーは同型である.
- S^1, S^2のチェック・コホモロジーの計算
さらに午後に
- R: 単項イデアル整域とするとき, R-加群 A の自由分解
0 \to F_1 \to F_0 \to A \to 0
とその性質
- \operatorname{Tor}(A,B), \operatorname{Ext}(A,B)の定義
演習問題 pdf
12月13日にやったこと
§9. 特異ホモロジー
- \Delta_q = \{ x\in \R^{q+1} \mid x_i\ge 0, \sum x_i = 1\} とおく.
X を位相空間とし, 連続写像 \sigma: \Delta_q\to X を特異q-単体という. 特異q単体の全体を基底とする自由{\mathbb Z}-加群をS_q(X)とし, その元を特異q-チェインという.
- 境界作用素 \partial : S_q(X)\to S_{q-1}(X) が定義され, \partial\circ\partial = 0 を満たす.
- \mathbf Z-加群 G に対して, S_\bullet(X)\otimes Gからできるホモロジー群を, G-係数特異ホモロジー群といい, H_*(X;G) で表わす.
- 例. H_0(X;{\mathbb Z}) = {\mathbb Z}^{\oplus \text{path connected components}}
- 例. H_q(\text{point},{\mathbb Z}) = \begin{cases} \mathbf Z & (q=0) \\ 0 & (q\neq 0) \end{cases}
- 簡約ホモロジー
- 特異コホモロジー群を \operatorname{Hom}_{\mathbb Z}(S_q(X), G) からできるコホモロジー群として定義し, H^q(X; G) で表わす.
- 普遍係数定理
- 相対コホモロジー
- i_0, i_1: X\to X\times [0,1] を i_0(x) = (x,0), i_1(x) = (x,1) で定義する. このとき i_{0*}, i_{1*}: H_q(X;{\mathbb Z})\to H_q(X\times [0,1];{\mathbb Z}) は等しい.
- これをプリズム作用素によって証明する.
小テスト問題と解答 pdf
12月20日にやったこと
- f_0, f_1 : X\to Y がホモトピックであると, f_{0*}, f_{1*}: H_*(X;{\mathbb Z})\to H_*(Y;{\mathbb Z}) は等しい.
- 特異ホモロジーに関する一般化されたMayer-Vietoris完全列
- \{ U_\alpha \} : X の開被覆に対し
\delta:\bigoplus_{\alpha_0<\cdots<\alpha_p} S_q(U_{\alpha_0\cdots\alpha_p})\to \bigoplus_{\alpha_0 < \cdots < \alpha_{p-1}} S_q(U_{\alpha_0\cdots\alpha_{p-1}})
をドラーム複体のときと同様に正確にはそれの`転置'になるように 定義する.
- S_q^{{\mathfrak U}}(X) = \{ c = \sum a_\sigma \sigma \mid \sigma(\Delta_q)\subset U_\alpha \text{for some } \alpha \} を考える.
- S_q^{{\mathfrak U}}(X)\subset S_q(X)であるが, ホモロジー群に誘導される写像により, S_q^{{\mathfrak U}}(X)からできるホモロジー群 H_q^{{\mathfrak U}}(X;{\mathbb Z})は, もともとのH_q(X;{\mathbb Z})と同型である.
- 二重複体を, ドラーム複体のときと同様に定義すると, total ホモロジーは
H_q^{{\mathfrak U}}(X;{\mathbb Z}), したがってH_q(X;{\mathbb Z})と同型である.
- 各 U_{\alpha_0\cdots\alpha_p}が可縮であるとき, \mathfrak Uはgood coverであるという. このとき, 二重複体を考えると, H^q(X;{\mathbb Z})はチェックコホモロジーと同型である.
- さらに X がC^\infty級多様体のときには, \mathfrak Uが多様体の意味のgood coverであると仮定すると, \R-係数特異コホモロジー群 H^q(X;\R)は, ドラーム・コホモロジー群と同型になる.
- 特異ホモロジー群に関するMayer-Vietoris完全列と, S^1, S^n, クラインの壷のホモロジー群
午後は, 重心細分作用素による H_q^{{\mathfrak U}}(X;{\mathbb Z})\cong H_q(X;{\mathbb Z})の証明
をおこなった.
演習問題 pdf
1月10日にやったこと
§10. CW複体とそのホモロジー
- X, f: S^{n-1}\to X に対し, n-セル e^n をfによって貼り合わせた空間をY = X\cup_f e^nとするとき次の完全列がある:
0\to H_n(X)\to H_n(Y) \to {\mathbb Z} \to H_{n-1}(X)\to H_{n-1}(Y)\to 0
- これに動機付けされて有限CW複体を定義する.
- 有限個の点X^{(0)}から出発して, 帰納的に作る. (n-1)切片X^{(n)}に, 有限個のn-セルを貼り合わせていって, X^{(n)}を作る. 十分大きなnでこれを終える. できたものが有限CW複体である.
- 実射影空間, 複素射影空間は, CW複体の構造を持つ.
- 相対ホモロジーについて
- H_q(e^n,\partial e^n) = {\mathbb Z} $q=n$, =0 その他
- 切除定理
小テスト問題と解答 pdf
1月17日にやったこと
- 相対ホモロジー群を使って, X, f: S^{n-1}\to X に対し, n-セル e^n をfによって貼り合わせた空間をY = X\cup_f e^nとするとき
0\to H_n(X)\to H_n(Y) \to H_n(Y,X) \to H_{n-1}(X)\to H_{n-1}(Y)\to 0
と
H_n(X,Y) = {\mathbb Z}
であることを示した.
- C_n = H_n(X^{(n)},X^{(n-1)}) とし, \partial: C_n\to C_{n-1}を
空間対X^{(n)}, X^{(n-1)}, X^{(n-2)} に付随した短完全列
0\to \frac{S_*(X^{(n-1)})}{S_*(X^{(n-2)})}\to \frac{S_*(X^{(n)})}{S_*(X^{(n-2)})}\to \frac{S_*(X^{(n)})}{S_*(X^{(n-1)})}
から誘導される長完全列の連結準同型として定義する.
- \partial\partial=0が成り立ち, 複体を作るが, この複体のホモロジーは
H_n(X)に等しい.
- 結合定数 [e_\lambda,e_\mu]の, S^{n-1}からS^{n-1}への写像の写像度としての計算の仕方
- トーラスのときの計算
- 実射影空間のときの計算
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試験問題
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試験問題解答
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