2008年度後期講義「幾何学II」

目次

10月1日(水)開講

授業内容

• 微分形式と de Rham コホモロジーの定義
• コンパクトな台を持つ de Rham コホモロジー
• Mayer-Vietris 完全列とその応用
• Poincare の双対性定理
• Thom同型

教科書

• R. Bott and L.W.Tu, Differential Forms in Algebraic Topology, GTM 82, Springer-Verlag
• 和訳 (R. ボット，L.W. トュー，微分形式と代数トポロジー（三村護 訳）シュプリンガー東京)でも可

10月1日にやったこと

§. Introduction

10月8日にやったこと

§1と§3. 微分形式と外微分(復習)

• グラスマン代数(外積代数)
• 交代形式
• 外積代数と交代形式の全体の同型写像
• 多様体上の微分形式の定義
• 座標変換での微分形式の変換性
• 外微分作用素の定義

• コチェイン複体の定義, そのコホモロジーの定義

10月15日にやったこと

• 微分形式の引き戻し
• $d f^* = f^* d$

• コチェイン複体の定義, そのコホモロジーの定義
• コチェイン写像の定義と, それがコホモロジーに誘導する写像の定義

§4. ポアンカレの補題

• $\pi: M\times \R\to M$を射影, $s: M\to M\times \R$を$s(x) = (x,0)$で定義する.
• $H^k(M\times \R;\R) \cong H^k(M;\R)$であり, 同型は $\pi^*$, $s^*$で与えられる.
• チェインホモトピーの説明
• $\pi^* s^*$ と恒等写像の間のチェインホモトピーの構成

• $\pi_*: \Omega^k_c(M\times \R)\to \Omega^{k-1}_c(M)$ (integration along fiber)を定義した.
• $e = e(t)dt\in \Omega^1_c(\R)$で$\int_{-\infty}^\infty e = 1$となるものを取り, $e_*: \Omega^k_c(M)\to \Omega^{k+1}_c(M\times\R)$を$e_*\alpha = \pi^*\alpha\wedge e$で定義した.
• $H^{k+1}_c(M\times \R;\R) \cong H^k_c(M;\R)$であり, 同型は $\pi_*$, $e_*$で与えられる.

10月22日にやったこと

§2. Mayer-Vietoris完全列

• コチェイン複体の短完全列からコホモロジ─の長完全列を導く.
• $M = U\cup V$ ($U$, $V$は開集合)のとき $$\begin{array}{cccc}0\to & \Omega^k(M) \to & \Omega^k(U)\oplus \Omega^k(V)\to & \Omega^k(U\cap V)\to 0\\ &\alpha\mapsto & \alpha|_U\oplus\alpha|_V & \\ & & \omega\oplus\tau\mapsto& \tau|_{U\cap V}-\omega|_{U\cap V}\end{array}$$ は短完全列である.
• この短完全列から導かれるコホモロジ─の長完全列が, Mayer-Vietoris完全列である.
• $U$, $V$に適合した$1$の分割 $\rho_U$, $\rho_V$を用いると, $$ d^*[\alpha] = \left\{ \begin{array}{cc} - d(\rho_V \alpha) & on U \\ d(\rho_U\alpha) & on V \end{array}\right.$$ で与えられる.
• $H^k(S^1)$の計算

10月29日にやったこと

• $H^k(S^1)$の計算 (もう一度繰り返し)
• $H^1(S^1)\cong \R$ が積分 $\int_{S^1}\bullet$ で与えられることの証明
• $H^k(S^n)$の計算
• $H^n(S^n)\cong \R$ が積分 $\int_{S^n}\bullet$ で与えられることの証明

• $M = U\cup V$ ($U$, $V$は開集合)のとき $$\begin{array}{cccc}0\leftarrow & \Omega^k_c(M) \leftarrow & \Omega^k_c(U)\oplus \Omega^k_c(V)\leftarrow & \Omega^k_c(U\cap V)\leftarrow 0\\ &\omega+\tau\leftarrow & \omega\oplus\tau & \\ & & -\alpha\oplus \alpha\leftarrow& \alpha\end{array}$$ は短完全列である. (ただし定義域の外へは$0$とおくことで, おおきな定義域のところまで拡張している.) これから誘導される長完全列が コンパクト台のMayer-Vietoris完全列である. $$d_*[\omega] = [- d(\rho_U\omega)] = [ d(\rho_V \omega)]$$ で与えられる.

11月5日にやったこと

§3. 多様体上の微分形式の積分とStokesの定理の復習

• $1$の分割(二つのversion)
• 多様体の向き
• 積分の定義
• Stokesの定理

• 演習問題14の $g=1$のときの解説

11月12日にやったこと

• $H^*(M)$は微分形式の外積により $[\alpha]\wedge[\beta] = [\alpha\wedge\beta]$として, 環構造を持つ. 符号を除き可換となる.

§5. Mayer-Vietoris argument

• good coverの定義
• 多様体 $M$ が有限の good coverを持つとき, $H^*(M)$は有限次元である.
• $n$次元多様体 $M$ は, 向きづけられており, 有限の good coverを持つとする. このとき, $H^k(M)$と$H^{n-k}_c(M)$は, 次のpairing によって互いに双対空間になる. $$H^k(M)\otimes H^{n-k}_c(M)\ni [\alpha]\otimes[\beta] \mapsto \langle[\alpha],[\beta]\rangle = \int_M \alpha\wedge\beta$$
• K\"unneth の公式 多様体 $M$ が有限の good coverを持つとき, $$H^k(M\times F) \cong \bigoplus_{p+q=k} H^p(M)\otimes H^q(F)$$

11月19日にやったこと

• 閉部分多様体$S$のポアンカレ双対 $\eta_S\in H^k(M)$
• コンパクトな部分多様体のポアンカレ双対 $\eta_S\in H^k_c(M)$

§6. Thom同型

• ベクトル束の定義
• 局所自明化, 変換関数
• 切断, 枠
• 例. 多様体$M$の接束$T_M$, 自明束, メビウスの帯
• バンドル写像, ベクトル束の同型の定義
• ベクトル束の向きづけの定義
• ベクトル束の直和, テンソル積, 双対束, 外積束の定義
• $C^\infty$写像による誘導束の定義
• 定理. ホモトッピックな写像$f_0$, $f_1$による引き戻し $f_0^{-1}E$, $f_1^{-1}E$は同型である.
• 証明の途中で終った.

11月26日にやったこと

• 先週の定理の証明の続き
• ファイバー方向にコンパクトな台をもつ微分形式 $\Omega^*_{cv}(E)$ の定義
• $E$が向きづけられているとき, $\pi_*: \Omega^k_{cv}(E)\to \Omega^{k-n}(M)$が定義され, $H^k_{cv}(E)\to H^{k-n}(M)$が誘導される.
• (projection formula) $$\pi_*(\pi^*\tau\wedge\omega) = \tau\wedge\pi_*\omega$$ $$\int_E \pi^*\tau\wedge\omega = \int_M \tau\wedge\pi_*\omega$$
• 定理. $M$が有限なgood coverを持つとする. $E$を向きづけられた階数$n$のベクトル束とするとき, $$H^k_{cv}(E) \cong H^{k-n}(M)$$ が成り立つ. ただし左から右への写像は $\pi_*$ で与えられる.
• $\pi_*: H^n_{cv}(E) \to H^0(M)$の$1$の逆像を$E$のトム類といい $\Phi$で表わす.
• $\Phi$の特徴づけ
• トム類の自然性, Whitney和公式

12月3日にやったこと

• $S^k\subset M^n$が閉部分多様体であるとすると, 管状近傍$U$で法束$N = TM/TS$と微分同相なものが存在する.
• このとき, $N$のトム類を$U$上の微分形式で, $U$のはじの方では$0$になっているものであらわす. この微分形式を$U$の外で$0$とおいて$M$全体に拡張し, そのコホモロジー類をとったものは, $S$のポアンカレ双対である.
• 二つの部分多様体 $R$, $S$が横断的に交わっているとは, $x\in R\cap S$で $T_x R + T_x S = T_x M$が成立しているときをいう. このとき$R\cap S$は部分多様体になり, ポアンカレ双対の間に $$\eta_{R\cap S} = \eta_R \wedge \eta_S$$ という関係が成り立つ. (ただし$R\cap S$には向きを適当に入れる.)

§15. 特異ホモロジー

• $\Delta_q = \{ x\in \R^{q+1} \mid x_i\ge 0, \sum x_i = 1\}$ とおく. $X$ を位相空間とし, 連続写像 $\sigma: \Delta_q\to X$ を特異$q$-単体という. 特異$q$単体の全体を基底とする自由${\mathbb Z}$-加群を$S_q(X)$とし, その元を特異$q$-チェインという.
• 境界作用素 $\partial : S_q(X)\to S_{q-1}(X)$ が定義され, $\partial\circ\partial = 0$ を満たす.
• $\mathbf Z$-加群 $G$ に対して, $S_\bullet(X)\otimes G$からできるホモロジー群を, $G$-係数特異ホモロジー群といい, $H_*(X;G)$ で表わす.
• 例. $H_0(X;{\mathbb Z}) = {\mathbb Z}^{\oplus \text{path connected components}}$

12月10日にやったこと

• 例. $H_q(\text{point},{\mathbb Z}) = \begin{cases} \mathbf Z & (q=0) \\ 0 & (q\neq 0) \end{cases}$
• 簡約ホモロジー
• 特異コホモロジー群を $\operatorname{Hom}_{\mathbb Z}(S_q(X), G)$ からできるコホモロジー群として定義し, $H^q(X; G)$ で表わす.
• 普遍係数定理
• 相対コホモロジー
• $i_0$, $i_1: X\to X\times [0,1]$ を $i_0(x) = (x,0)$, $i_1(x) = (x,1)$ で定義する. このとき $i_{0*}$, $i_{1*}: H_q(X;{\mathbb Z})\to H_q(X\times [0,1];{\mathbb Z})$ は等しい.
• これをプリズム作用素によって証明する.
• $f_0, f_1 : X\to Y$ がホモトピックであると, $f_{0*}, f_{1*}: H_*(X;{\mathbb Z})\to H_*(Y;{\mathbb Z})$ は等しい.
• 特異ホモロジーに関するMayer-Vietoris完全列
  • $U, V\subset X$を開集合とし、$X = U\cup V$とする.
  • ${\mathfrak U} = \{ U, V\}$ を $X$の開被覆としての記号とし、$S_q^{{\mathfrak U}}(X)\subset S_q(X)$を $S_q(U)\oplus S_q(V)\to S_q(X)$ の像として定義する。すると $$\begin{array}{cccc} 0 \longleftarrow & S_q^{{\mathfrak U}}(X) \longleftarrow & S_q(U)\oplus S_q(V) \longleftarrow & S_q(U\cap V)\longleftarrow 0 \\ && \sigma\oplus -\sigma \longleftarrow & \sigma \\ & \sigma+\tau \longleftarrow & \sigma\oplus \tau & \end{array}$$ はチェイン複体の短完全列である.
  • $S_q^{{\mathfrak U}}(X)$からできるホモロジー群 $H_q^{{\mathfrak U}}(X;{\mathbb Z})$は, 包含写像 $S_q^{{\mathfrak U}}(X)\subset S_q(X)$ が誘導する写像により, もともとの$H_q(X;{\mathbb Z})$と同型である. (証明は重心細分を使うもので、略)
  • よって $H_q(X)$, $H_q(U)\oplus H_q(V)$, $H_q(U\cap V)$ の間のコホモロジー長完全列を得る.
  • (午後に)計算例として $H_q(S^1)$, $H_q(S^n)$, $H_q($クラインの壷$)$

12月17日にやったこと

§. CW複体とそのホモロジー

• $H_q(e^n,\partial e^n) = {\mathbb Z}$ ($q=n$), $=0$ (その他)
• $X$, $f: S^{n-1}\to X$ に対し, $n$-セル $e^n$ を$f$によって貼り合わせた空間を$Y = X\cup_f e^n$とするとき次の完全列がある: $$0\to H_n(X)\to H_n(Y) \to {\mathbb Z} \to H_{n-1}(X)\to H_{n-1}(Y)\to 0$$
• これに動機付けされて(有限)CW複体を定義する.
• 有限個の点$X^{(0)}$から出発して, 帰納的に作る. $(n-1)$切片$X^{(n)}$に, 有限個の$n$-セルを貼り合わせていって, $X^{(n)}$を作る. 十分大きな$n$でこれを終える. できたものが有限CW複体である.
• 実射影空間, 複素射影空間は, CW複体の構造を持つ.

1月14日にやったこと

• $C_n = H_n(X^{(n)},X^{(n-1)})$ とし, $\partial: C_n\to C_{n-1}$を 空間対$X^{(n)}$, $X^{(n-1)}$, $X^{(n-2)}$ に付随した短完全列 $$0\to \frac{S_*(X^{(n-1)})}{S_*(X^{(n-2)})}\to \frac{S_*(X^{(n)})}{S_*(X^{(n-2)})}\to \frac{S_*(X^{(n)})}{S_*(X^{(n-1)})}\to 0$$ から誘導される長完全列の連結準同型として定義する.
• $\partial\partial=0$が成り立ち, 複体を作るが, この複体のホモロジーは $H_n(X)$に等しい.
• 結合定数 $[\partial e_\lambda,e_\mu]$の, $S^{n-1}$から$S^{n-1}$への写像の写像度としての計算の仕方
• トーラスのときの計算
• 実射影空間のときの計算