2008年度後期講義「幾何学入門」

目次

10月3日(金)開講予定

授業内容

• 陰函数定理
• 曲面、多様体の定義
• 接空間
• 写像の臨界点

• スピヴァック (斎藤正彦訳): 多変数解析学, 東京図書
• 杉浦光夫: 解析入門 I,II, 東京大学出版会
• J.Milnor: Topology from differentiabl viewpoint, The University Press of Virginia

• 2002年度問題, 解答
• 2001年度問題, 解答, 追試問題, 解答
• 2000年度問題, 解答, 追試問題

10月3日にやったこと

• 平面曲線の``定義'' : $\R^2$ 上の滑らかな関数 $F$ によって, $\{ (x,y) | F(x,y) = 0\}$と表 わされる集合のこと. ただし, きちんとした定義ではない. 例えば $x^2 + y^2 + 1 = 0$ のように空集合になったり, $x^2 = 0$ のように $F$ の取り方が違うものを同じと思っていいのかどうか、よく分からないなど、 ちょっとまずい。
• 接線の``定義'' : $\frac{\partial F}{\partial x}(a,b) (x-a) + \frac{\partial F}{\partial y}(a,b) (y-b) = 0$ で表わされる直線のこと. 上のまずい例 $x^2 = 0$ では、接線はどの点でも定まらない。
• 特異点の``定義'' : $\frac{\partial F}{\partial x}(a,b) = \frac{\partial F}{\partial y}(a,b) = 0$ となるような曲線上の点 $(a,b)$のこと (この定義は, $F$ の取り方に依存する)
• 平面曲線のもう一つ別の``定義'': 写像$(x,y): \R \to \R^2$によって, $\{ (x(t),y(t)) | t \in\R\}$ と表わされるような集合のこと. パラメータ表示と言う.
• 接線の``定義'' : $(x(t_0),y(t_0))$における接線とは、 $x = \frac{dx}{dt}(t_0) t + x(t_0)$, $y = \frac{dy}{dt}(t_0) t + y(t_0)$ でパラメータ表示される直線のこと.
• 特異点の``定義'' : $\frac{dx}{dt}(t_0) = \frac{dy}{dt}(t_0) = 0$ となるような $t_0$に対し, $(x(t_0),y(t_0))$のこと (この定義はパラメータ表示の取り方に依存する)
• 二つの曲線の``定義''は特異点以外では同じになる. そのためには次の二つの定理が必要.
  • 陰関数定理の特別な場合. $F(x,y) = 0$ で $\frac{\partial F}{\partial y}(a,b) \neq 0$ のとき, $(a,b)$ の回りで $y = f(x)$ と書ける.
  • 逆関数定理の特別な場合. $x = f(t)$ という関数で, $f'(t_0) \neq 0$ のとき, $t_0$ の回りで $t = g(x)$ と書ける.

10月10日にやったこと

• 写像 $f: \R^n \to \R^m$ が点$a$で全微分可能であることの定義. ある線形写像 $A$ が存在して, $\frac{|f(a+h) - f(a) - Ah|}{|h|}\to 0$ となること
• $A$ を $Df_a$ と表す.
• これは, 写像 $f$ を点 $a$ で線形写像で近似することである.
• 方向微分, 偏微分の定義
• 合成写像の微分法則. $D(g\circ f)_a = Dg_{f(a)} Df_a$ が成り立つ.
• $C^1$級, $C^\infty$級の定義
• 逆関数定理
  • $U$を$\R^n$の開集合, $f: U \to \R^n$を $C^1$級写像で $\det Df_a\neq 0$とする. このとき, $a$ を含む開集合 $V\subset U$ と $f(a)$ を含む開集合 $W$ であって, $f$の$V$への制限 $f|_V$が $V$ と $W$ の間の全単射となり, 逆写像 $(f|_V)^{-1}$も $C^1$ 級になるものが存在する. 元々の $f$ が $C^\infty$級であれば$(f|_V)^{-1}$も$C^\infty$級である.
  • この定理の意味は, 写像の微分が可逆ならば写像自身も局所的には可逆であるということである.

10月17日にやったこと

• 陰関数定理 $U$を$\R^n$の開集合, $a$ を$U$の点, $f: U \to \R^m$を$C^\infty$級写像で $f(a) = 0$となるものとし, $Df_a$が全射であると仮定する. このとき, $a$ を含む開集合 $U'(\subset U)$ と $0$を含む開集合 $V (\subset \R^n)$と$C^\infty$級微分同相写像 $F: V \to U'$が存在して, $f|_{U'}\circ F (x_1,\dots, x_n) = (x_1,\dots, x_m)$ (最初の$m$個の成分を取る写像)となる.
• 単射version $U$を$\R^n$の開集合で$0$を含むもの, $f: U \to \R^m$を$C^\infty$級写像で $f(0) = 0$となるものとし, $Df_0$が単射であると仮定する. このとき, $0$を含む開集合 $U'(\subset U)$, $0$ を含む $\R^m$の開集合 $V$, $0$ を含む $\R^m$ の開集合 $W$ と$C^\infty$級微分同相写像 $F: W \to V$ が存在して, $F\circ f|_{U'}(x_1,\dots, x_n) = (x_1,\dots,x_n,0,..,0)$ ($0$が$m-n$個並ぶ) となる.

• 定義: $M$ が$m$次元$C^\infty$級多様体であるとは, 次の条件を満たすこと.
  各点 $a\in M$ に対して, $a$ を含む開集合 $U$ と $C^\infty$級写像 $f: U \to \R^{n-m}$ で, $Df_a$ が全射であり, $U\cap M = f^{-1}(0)$ となるものが存在する
• 例: 円 $\{ x^2 + y^2 = 1\}\subset \R^2$
• 多様体でない例 $\{xy = 0\}\subset \R^2$

10月24日にやったこと

• メビウスの帯は多様体であり, 一つの写像 $f$ だけでは, $M = f^{-1}(0)$と表わせないものの例である.

• 曲線の定義に二通りあったように, 多様体の定義にも別のものがある.
  定理: $M$が多様体であることと, 次は同値.
  (1) 各点 $a\in M$ に対して, $a$ を含む開集合 $U\subset\R^n$ と $\R^n$の開集合 $V$ と $C^\infty$級微分同相写像 $F: U\to V$で, $F(a) = 0$, $U\cap M = F^{-1}(V\cap \R^m\times \{0\})$ となるものが存在する.
  (2) 各点 $a\in M$ に対して, $a$ を含む開集合 $U$ と $\R^m$ の開集合 $W$ と $C^\infty$級写像 $g: W \to U$ で, $g(0) = a$, $Dg_0$ は単射であり, $U\cap M = g(W)$ となり, さらに $g: W\to U\cap M$が同相写像になるものが存在する.
• $g: W\to U\cap M$が同相写像 という条件がなぜ必要かの説明. $M = \{ xy = 0\}$ については, この条件を除いたものを満す $g$ を取ることができる.

10月31日にやったこと

• 局所座標の考えの説明 : 点と数の組を対応させること
• 座標変換
• 多様体上の関数 $f: M \to \R$が$C^\infty$級であることの定義. 局所的に$\R^n$の開集合上の$C^\infty$級関数に拡張できること.
• 局所座標 $g: W\to U\cap M$ について, $f\circ g: W\to \R$が$C^\infty$級であることと上の定義は同値である.
• 多様体の接空間の定義 = 多様体の三通りの定義(10月24日参照)に応じて接空間にも三通りの定義が可能.
  (0) $T_x M = \text{Ker} Df_x$
  (1) $T_x M = \{ v \in T_x\R^n \mid DF_x(v)\in \R^m\times\{0\}\}$
  (2) $T_x M = \text{Im} Dg_0$

11月7日にやったこと

• $f: M \to \R$ を $M$ 上の関数とするとき, 線形写像 $df_x: T_x M \to \R$が, 定義され, $x$ における$f$の微分と呼ばれる. $f$の$x$の近傍$U$での拡張$\tilde f$を利用して, $D\tilde f_x$の$T_x M$への制限として定義される.
• $v = Dg_0 v'$ と書いたとき, $df_x v = D(f\circ g)_0 v'$となる.
• 定理. $f$が $x$ で最大値を取るとき, $df_x = 0$ となる.
• $S^{n-1}$上の関数 $x_n$は, 北極と南極でその微分が0となる.

• 写像 $f: M_1\to M_2$が$C^\infty$級であるとは, 包含写像 $M_2\to \R^{n_2}$を合成して, $f: M_1\to \R^{n_2}$と考えたときに, その各成分が$M$上の$C^\infty$級関数であるときを言う.
• このとき $f$ は、$M_1$, $M_2$の誘導位相に関して、連続写像である。
• $f_1: M_1\to M_2$, $f_2: M_2\to M_3$が$C^\infty$級のとき、合成$f_2\circ f_1$ も $C^\infty$級の証明の途中で終った。

11月14日にやったこと

• 連続写像 $f: M_1 \to M_2$が$C^\infty$級であることと次は同値:
  各点 $x\in M_1$ ごとにそのまわりの座標 $g_1: W_1\to U_1\cap M_1$ と $y=f(x)$の回りの座標 $g_2: W_2\to U_2\cap M_2$ を $f(U_1\cap M_1)\subset U_2 \cap M_2$なるように取ると, $g_2^{-1}\circ f|_{U_1\cap M}\circ g_1$が $C^\infty$級である
• $C^\infty$級写像 $f: M_1\to M_2$ は接空間の間の写像 $df_x: T_x M_1\to T_{f(x)}M_2$ を導く.
  • 二通りの定義を与えた.
• $x\in M_1$が $f$の臨界点であるとは, $df_x: T_x M_1\to T_{f(x)} M_2$が全射でないときを言う. 臨界点の像を臨界値といい, 臨界点でない点を正常点, 臨界値でない点を正常値という.
• 定理. $y\in N$が正常値のとき, $S = f^{-1}(y)$は空集合でなければ, $(\mathrm{dim} M - \mathrm{dim} N)$次元の多様体である.
• $0$次元の多様体 $M$ とは、集積点を持たない点の集合のことである。

11月21日にやったこと

11月28日にやったこと

• 代数学の基本定理: $f(z) = a_n z^n + a_{n-1} z^{n-1} + \cdots + a_0$を$n$次多項式とする. ($a_i$は複素数で, $n\ge 1$で, $a_n\neq 0$とする.) このとき $f(z) = 0$は解を持つ.
  • 立体射影 $\varphi: S^2\setminus (0,0,1)\to {\mathbb C} = \R^2$ を用いて, $\tilde f: S^2\to S^2$を, $\tilde f((0,0,1)=(0,0,1)$, $\tilde f(p) = \varphi^{-1}\circ f \circ \varphi(p)$ ($p\neq (0,0,1)$のとき)と定める.
  • 主張1. $\tilde f$ は$C^\infty$級である.
  • 補題 $f: M\to N$ は $C^\infty$級写像で, $\dim M = \dim N$ であり, $M$ はコンパクトとする. $y\in N$が正常値であるとすると,
    1. $f^{-1}(y)$は有限個の点からなる.
    2. $y$を``少し''動かしてもその個数は変わらない.
  • 主張2. $p$は北極$(0,0,1)$でないとし, $z=\varphi(p)$とする. このとき$p$が$\tilde f$の臨界点である必要十分条件は, $f'(z) = 0$となることである.
  • 主張2(および因数定理)により$\tilde f$の臨界値の個数は有限個であり, 特に正常値の集合は連結である.
  • 南極が臨界値であれば証明することはない. 正常値であるとして $\sharp \tilde f^{-1}(0,0,-1)$を考える. これが $0$ であるとして矛盾を言う.
  • 上の結果と正常値の集合が連結であるにより, 任意の正常値に対してその $\tilde f$による逆像の個数は一定であり, よって上の仮定により $0$ 個である. と言うことは, $\tilde f$ の像は全て臨界値であると言うことで, $\tilde f$ は定数写像になって矛盾する.

12月5日にやったこと

• $f: M\to N$ の微分 $df_x$ は、$x$と$y=f(x)$の回りの局所座標 $g_1$, $g_2$写像を取って、$g_2^{-1}\circ f\circ g_1$ の微分と可換図式 $$\usepackage{amscd}\begin{CD} T_x M @>>{df_x}> T_y N \\ @A{D(g_1)_0}AA @AA{D(g_2)_0}A\\ \R^m @>{D(g_2^{-1}\circ f\circ g_1)_0}>> \R^n\end{CD}$$ がある。縦矢印は同型写像である。
• これを使って, $df_x$ が全射、単射のときに標準形にもっていける.

• Sardの定理
  • 測度が$0$の集合の定義
  • $f$が$C^1$級写像で$A$が測度$0$のとき, $f(A)$も測度 $0$である.
  • 定理. $f: M \to N$, $C^\infty$級写像, $\dim M = \dim N$ とする. このとき臨界値の集合は測度 $0$である.

12月12日にやったこと

• $f, g: M \to N$ $C^\infty$級写像がホモトピックであるとは, ある$C^\infty$級写像 $F: M\times [0,1] \to N$ で, $F|_{M\times \{0\}} = f$, $F|_{M\times \{1\}} = g$となるものが存在するときを言う. このとき $f\sim g$と表わす.
• $\sim$は同値関係である.
• 命題. $M$, $N$は多様体で, $\dim M = \dim N$ とする. さらに$M$はコンパクトとする. $f,g: M \to N$ $C^\infty$級写像がホモトピックであるとし, $y\in N$は$f$,$g$の正常値であると仮定する. このとき$\sharp f^{-1}(y)\equiv \sharp g^{-1}(y)\pmod 2$が成立する.
• $f$, $g: M \to N$ $C^\infty$級微分同相がアイソトピックであるとは, ある$C^\infty$級写像 $F: M\times [0,1] \to N$ で, $F|_{M\times \{0\}} = f$, $F|_{M\times \{1\}} = g$となり, さらに$F|_{M\times \{t\}}$が全ての$t$について微分同相であるものが存在するときを言う.
• 補題. $N$ を連結な多様体とし, $y,z\in N$とする. このとき恒等写像とアイソトピックな微分同相 $h: N \to N$で, $h(y) = z$となるものが存在する.
• 定理. $M$, $N$は多様体で, $\dim M = \dim N$ とする. $f: M \to N$ $C^\infty$級写像とする. さらに$M$はコンパクトで, $N$は連結とする. このとき, $y,z\in N$が共に$f$の正常値であるとすると, $\sharp f^{-1}(y)\equiv \sharp f^{-1}(z) \pmod 2$が成立する.
• ベクトル空間の向き

12月19日にやったこと

12月25日にやったこと

• 小テストの解説

• 多様体の向きとは、各接空間$T_x M$に向きを与えることで、$x$を少し動かしたときに向きが変わらないもののことをいう。 (正確ではない。)
• 境界付き多様体 $M$に向きが与えられると、内向き法線方向を考えることによって $\partial M$にも向きが定まる。
• $S^n = \partial D^{n+1}$ に向きを入れたとき、$\varphi: S^n\to S^n$, $\varphi(x)= -x$を考える。$n$が奇数のとき $d\varphi_x: T_x S^n\to T_{-x}S^n$は向きを保ち、偶数のとき向きを逆にする。
• 新年の講義の目標の定理を紹介。
  • 写像 $f: M\to N$ の写像度 $\deg f$の定義
  • 上の写像 $\varphi$について, $\deg\varphi = 1$ ($n$が奇数のとき), $\deg\varphi = -1$ ($n$が偶数のとき)となる。

1月9日にやったこと

• 写像度 $f: M\to N$の定義のやり直し
• $f$と$g$がホモトピックならば写像度は変わらない。
• 写像の定義において、正常値 $y\in N$ の取り方には依存せずに well-defined である。(ここで、$N$の二点 $y_1$, $y_2$ に対して、恒等写像とアイソトピックな $h$ であって $h(y_1) = y_2$となるものが存在することを使う。)
• $S^n$上に、いたるところ $0$ にならないベクトル場が存在したとすると、$n$は奇数である。