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2008年度後期講義「幾何学入門」
目次
開講のお知らせ
10月3日
10月10日
10月17日
10月24日
10月31日
11月7日
11月14日
11月21日
11月28日
12月5日
12月12日
12月19日
12月25日
1月9日
試験問題
試験問題解答
10月3日金開講予定
11月21日金は, 11月祭のため休講?
12月19日金は、ノート、教科書持ち込み可の小テスト
12月25日木は、授業の振り替え木→金
2009年1月16日金は、センター試験準備のため授業休止.
2009年1月9日金が最終講の予定.
試験は1月30日金
備考:
定期試験に授業中に行った小テストの評価を加味して最終成績とする。小テストの成績を加味せず、定期試験のみで最終評価を希望するものは、試験を受けるときに申告すること。
持ち込み:
教科書、ノート等、一切持ち込み不可。
授業内容
空間内の曲線、平面を例とするユークリッド空間に埋め込まれた多様体につい
て、次の基本的事項を解説する。
- 陰函数定理
- 曲面、多様体の定義
- 接空間
- 写像の臨界点
参考書
- スピヴァック 斎藤正彦訳: 多変数解析学, 東京図書
- 杉浦光夫: 解析入門 I,II, 東京大学出版会
- J.Milnor: Topology from differentiabl viewpoint, The University Press of Virginia
過去に行なった授業の内容は、ここを参照のこと。
過去の試験問題
成績評価は, 小テスト、及び最終テストによる.
第一回の講義の前
基礎演習用の演習問題 pdf
10月3日にやったこと
序. 平面曲線
- 平面曲線の``定義'' : \R^2 上の滑らかな関数 F によって,
\{ (x,y) | F(x,y) = 0\}と表
わされる集合のこと. ただし, きちんとした定義ではない. 例えば
x^2 + y^2 + 1 = 0 のように空集合になったり, x^2 = 0 のように F
の取り方が違うものを同じと思っていいのかどうか、よく分からないなど、
ちょっとまずい。
- 接線の``定義'' : \frac{\partial F}{\partial x}(a,b) (x-a) + \frac{\partial F}{\partial y}(a,b) (y-b) = 0 で表わされる直線のこと. 上のまずい例
x^2 = 0 では、接線はどの点でも定まらない。
- 特異点の``定義'' : \frac{\partial F}{\partial x}(a,b) = \frac{\partial F}{\partial y}(a,b) = 0 となるような曲線上の点 (a,b)のこと この定義は, $F$ の取り方に依存する
- 平面曲線のもう一つ別の``定義'': 写像(x,y): \R \to \R^2によって, \{ (x(t),y(t)) | t \in\R\} と表わされるような集合のこと. パラメータ表示と言う.
- 接線の``定義'' : (x(t_0),y(t_0))における接線とは、
x = \frac{dx}{dt}(t_0) t + x(t_0), y = \frac{dy}{dt}(t_0) t + y(t_0) でパラメータ表示される直線のこと.
- 特異点の``定義'' : \frac{dx}{dt}(t_0) = \frac{dy}{dt}(t_0) = 0 となるような t_0に対し, (x(t_0),y(t_0))のこと この定義はパラメータ表示の取り方に依存する
- 二つの曲線の``定義''は特異点以外では同じになる. そのためには次の二つの定理が必要.
- 陰関数定理の特別な場合. F(x,y) = 0 で \frac{\partial F}{\partial y}(a,b) \neq 0 のとき, (a,b) の回りで y = f(x) と書ける.
- 逆関数定理の特別な場合. x = f(t) という関数で, f'(t_0) \neq 0 のとき,
t_0 の回りで t = g(x) と書ける.
基礎演習用の演習問題 pdf
10月10日にやったこと
§1. 多変数の微分と逆関数定理復習
- 写像 f: \R^n \to \R^m が点aで全微分可能であることの定義. ある線形写像 A が存在して, \frac{|f(a+h) - f(a) - Ah|}{|h|}\to 0 となること
- A を Df_a と表す.
- これは, 写像 f を点 a で線形写像で近似することである.
- 方向微分, 偏微分の定義
- 合成写像の微分法則. D(g\circ f)_a = Dg_{f(a)} Df_a が成り立つ.
- C^1級, C^\infty級の定義
- 逆関数定理
- Uを\R^nの開集合, f: U \to \R^nを C^1級写像で \det Df_a\neq 0とする. このとき, a を含む開集合 V\subset U と f(a) を含む開集合 W であって, fのVへの制限 f|_Vが V と W の間の全単射となり, 逆写像 (f|_V)^{-1}も C^1 級になるものが存在する. 元々の f が C^\infty級であれば(f|_V)^{-1}もC^\infty級である.
- この定理の意味は, 写像の微分が可逆ならば写像自身も局所的には可逆であるということである.
基礎演習用の演習問題 pdf
10月17日にやったこと
逆関数定理の二つの系
- 陰関数定理
Uを\R^nの開集合, a をUの点, f: U \to \R^mをC^\infty級写像で
f(a) = 0となるものとし, Df_aが全射であると仮定する. このとき, a を含む開集合 U'(\subset U) と 0を含む開集合 V (\subset \R^n)とC^\infty級微分同相写像 F: V \to U'が存在して, f|_{U'}\circ F (x_1,\dots, x_n) = (x_1,\dots, x_m) 最初の$m$個の成分を取る写像となる.
- 単射version
Uを\R^nの開集合で0を含むもの, f: U \to \R^mをC^\infty級写像で f(0) = 0となるものとし, Df_0が単射であると仮定する. このとき, 0を含む開集合 U'(\subset U), 0 を含む \R^mの開集合 V, 0 を含む \R^m の開集合 W とC^\infty級微分同相写像 F: W \to V が存在して, F\circ f|_{U'}(x_1,\dots, x_n) = (x_1,\dots,x_n,0,..,0) $0$が$m-n$個並ぶ
となる.
§2. 多様体正しくは$\R^n$に埋め込まれた部分多様体
- 定義: M がm次元C^\infty級多様体であるとは, 次の条件を満たすこと.
各点 a\in M に対して, a を含む開集合 U と C^\infty級写像 f: U \to \R^{n-m} で, Df_a が全射であり, U\cap M = f^{-1}(0) となるものが存在する
- 例: 円 \{ x^2 + y^2 = 1\}\subset \R^2
- 多様体でない例 \{xy = 0\}\subset \R^2
基礎演習用の演習問題 pdf
10月24日にやったこと
- メビウスの帯は多様体であり, 一つの写像 f だけでは,
M = f^{-1}(0)と表わせないものの例である.
- 曲線の定義に二通りあったように, 多様体の定義にも別のものがある.
定理: Mが多様体であることと, 次は同値.
1 各点 a\in M に対して, a を含む開集合 U\subset\R^n と \R^nの開集合 V と C^\infty級微分同相写像 F: U\to Vで, F(a) = 0, U\cap M = F^{-1}(V\cap \R^m\times \{0\}) となるものが存在する.
2 各点 a\in M に対して, a を含む開集合 U と \R^m の開集合 W と C^\infty級写像 g: W \to U で, g(0) = a, Dg_0 は単射であり, U\cap M = g(W) となり, さらに g: W\to U\cap Mが同相写像になるものが存在する.
- g: W\to U\cap Mが同相写像 という条件がなぜ必要かの説明. M = \{ xy = 0\} については, この条件を除いたものを満す g を取ることができる.
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10月31日にやったこと
- 局所座標の考えの説明 : 点と数の組を対応させること
- 座標変換
- 多様体上の関数 f: M \to \RがC^\infty級であることの定義. 局所的に\R^nの開集合上のC^\infty級関数に拡張できること.
- 局所座標 g: W\to U\cap M について, f\circ g: W\to \RがC^\infty級であることと上の定義は同値である.
- 多様体の接空間の定義 = 多様体の三通りの定義(10月24日参照)に応じて接空間にも三通りの定義が可能.
0 T_x M = \text{Ker} Df_x
1 T_x M = \{ v \in T_x\R^n \mid DF_x(v)\in \R^m\times\{0\}\}
2 T_x M = \text{Im} Dg_0
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11月7日にやったこと
- f: M \to \R を M 上の関数とするとき, 線形写像 df_x: T_x M \to \Rが, 定義され, x におけるfの微分と呼ばれる. fのxの近傍Uでの拡張\tilde fを利用して, D\tilde f_xのT_x Mへの制限として定義される.
- v = Dg_0 v' と書いたとき, df_x v = D(f\circ g)_0 v'となる.
- 定理. fが x で最大値を取るとき, df_x = 0 となる.
- S^{n-1}上の関数 x_nは, 北極と南極でその微分が0となる.
§3. 多様体の間のC^\infty級写像
- 写像 f: M_1\to M_2がC^\infty級であるとは, 包含写像 M_2\to \R^{n_2}を合成して, f: M_1\to \R^{n_2}と考えたときに, その各成分がM上のC^\infty級関数であるときを言う.
- このとき f は、M_1, M_2の誘導位相に関して、連続写像である。
- f_1: M_1\to M_2, f_2: M_2\to M_3がC^\infty級のとき、合成f_2\circ f_1 も C^\infty級の証明の途中で終った。
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11月14日にやったこと
- 連続写像 f: M_1 \to M_2がC^\infty級であることと次は同値:
各点 x\in M_1 ごとにそのまわりの座標 g_1: W_1\to U_1\cap M_1 と
y=f(x)の回りの座標 g_2: W_2\to U_2\cap M_2 を f(U_1\cap M_1)\subset U_2 \cap M_2なるように取ると, g_2^{-1}\circ f|_{U_1\cap M}\circ g_1が C^\infty級である
- C^\infty級写像 f: M_1\to M_2 は接空間の間の写像 df_x: T_x M_1\to T_{f(x)}M_2 を導く.
- x\in M_1が fの臨界点であるとは, df_x: T_x M_1\to T_{f(x)} M_2が全射でないときを言う. 臨界点の像を臨界値といい, 臨界点でない点を正常点, 臨界値でない点を正常値という.
- 定理. y\in Nが正常値のとき, S = f^{-1}(y)は空集合でなければ, (\mathrm{dim} M - \mathrm{dim} N)次元の多様体である.
- 0次元の多様体 M とは、集積点を持たない点の集合のことである。
訂正
正しくは、M自身の点に集積するM内の点列が存在しないような集合のこと。
Mに入らないような集積点を持つ可能性はある。
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11月21日にやったこと
11月祭のため授業休止
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11月28日にやったこと
- 代数学の基本定理: f(z) = a_n z^n + a_{n-1} z^{n-1} + \cdots + a_0をn次多項式とする. $a_i$は複素数で, $n\ge 1$で, $a_n\neq 0$とする. このとき f(z) = 0は解を持つ.
- 立体射影 \varphi: S^2\setminus (0,0,1)\to {\mathbb C} = \R^2 を用いて,
\tilde f: S^2\to S^2を, \tilde f((0,0,1)=(0,0,1),
\tilde f(p) = \varphi^{-1}\circ f \circ \varphi(p) $p\neq (0,0,1$のとき)と定める.
- 主張1. \tilde f はC^\infty級である.
- 補題 f: M\to N は C^\infty級写像で, \dim M = \dim N であり, M はコンパクトとする. y\in Nが正常値であるとすると,
- f^{-1}(y)は有限個の点からなる.
- yを``少し''動かしてもその個数は変わらない.
- 主張2. pは北極(0,0,1)でないとし, z=\varphi(p)とする. このときpが\tilde fの臨界点である必要十分条件は, f'(z) = 0となることである.
- 主張2および因数定理により\tilde fの臨界値の個数は有限個であり, 特に正常値の集合は連結である.
- 南極が臨界値であれば証明することはない. 正常値であるとして \sharp \tilde f^{-1}(0,0,-1)を考える. これが 0 であるとして矛盾を言う.
- 上の結果と正常値の集合が連結であるにより, 任意の正常値に対してその \tilde fによる逆像の個数は一定であり, よって上の仮定により 0 個である. と言うことは, \tilde f の像は全て臨界値であると言うことで, \tilde f は定数写像になって矛盾する.
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12月5日にやったこと
- f: M\to N の微分 df_x は、xとy=f(x)の回りの局所座標 g_1, g_2写像を取って、g_2^{-1}\circ f\circ g_1 の微分と可換図式
\usepackage{amscd}\begin{CD} T_x M @>>{df_x}> T_y N \\ @A{D(g_1)_0}AA @AA{D(g_2)_0}A\\ \R^m @>{D(g_2^{-1}\circ f\circ g_1)_0}>> \R^n\end{CD}
がある。縦矢印は同型写像である。
- これを使って, df_x が全射、単射のときに標準形にもっていける.
- Sardの定理
- 測度が0の集合の定義
- fがC^1級写像でAが測度0のとき, f(A)も測度 0である.
- 定理. f: M \to N, C^\infty級写像, \dim M = \dim N とする. このとき臨界値の集合は測度 0である.
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12月12日にやったこと
二を法とする写像度について.
- f, g: M \to N C^\infty級写像がホモトピックであるとは, あるC^\infty級写像 F: M\times [0,1] \to N で, F|_{M\times \{0\}} = f, F|_{M\times \{1\}} = gとなるものが存在するときを言う. このとき f\sim gと表わす.
- \simは同値関係である.
- 命題. M, Nは多様体で, \dim M = \dim N とする. さらにMはコンパクトとする. f,g: M \to N C^\infty級写像がホモトピックであるとし, y\in Nはf,gの正常値であると仮定する. このとき\sharp f^{-1}(y)\equiv \sharp g^{-1}(y)\pmod 2が成立する.
- f, g: M \to N C^\infty級微分同相がアイソトピックであるとは, あるC^\infty級写像 F: M\times [0,1] \to N で, F|_{M\times \{0\}} = f, F|_{M\times \{1\}} = gとなり, さらにF|_{M\times \{t\}}が全てのtについて微分同相であるものが存在するときを言う.
- 補題. N を連結な多様体とし, y,z\in Nとする. このとき恒等写像とアイソトピックな微分同相 h: N \to Nで, h(y) = zとなるものが存在する.
- 定理. M, Nは多様体で, \dim M = \dim N とする. f: M \to N C^\infty級写像とする. さらにMはコンパクトで, Nは連結とする. このとき, y,z\in Nが共にfの正常値であるとすると, \sharp f^{-1}(y)\equiv \sharp f^{-1}(z) \pmod 2が成立する.
- ベクトル空間の向き
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12月19日にやったこと
小テスト、問題と略解
pdf
採点基準 : 一問30点。部分点として、10点, 20点を与えた場合がある。
12月25日にやったこと
- 多様体の向きとは、各接空間T_x Mに向きを与えることで、xを少し動かしたときに向きが変わらないもののことをいう。 正確ではない。
- 境界付き多様体 Mに向きが与えられると、内向き法線方向を考えることによって
\partial Mにも向きが定まる。
- S^n = \partial D^{n+1} に向きを入れたとき、\varphi: S^n\to S^n, \varphi(x)= -xを考える。nが奇数のとき d\varphi_x: T_x S^n\to T_{-x}S^nは向きを保ち、偶数のとき向きを逆にする。
- 新年の講義の目標の定理を紹介。
- 写像 f: M\to N の写像度 \deg fの定義
- 上の写像 \varphiについて, \deg\varphi = 1 $n$が奇数のとき, \deg\varphi = -1 $n$が偶数のときとなる。
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1月9日にやったこと
- 写像度 f: M\to Nの定義のやり直し
- fとgがホモトピックならば写像度は変わらない。
- 写像の定義において、正常値 y\in N の取り方には依存せずに well-defined である。ここで、$N$の二点 $y_1$, $y_2$ に対して、恒等写像とアイソトピックな $h$ であって $h(y_1 = y_2$となるものが存在することを使う。)
- S^n上に、いたるところ 0 にならないベクトル場が存在したとすると、nは奇数である。
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試験問題
試験問題解答
このページの数式は, MathJaxを用いて書かれています
nakajima@math.kyoto-u.ac.jp