Book Guide: mathematics

数学の本の紹介

基礎

線型代数

トップに戻る

線型代数については、あまりに本が多すぎてなんともいえない。個人的な経験からいうと、Jordan標準形の部分が多少面倒なのを別にすれば線型代数で学ぶべきことはそんなにないような気がするので、薄い本でもきちんと理解できれば大概は間に合うと思う。数学の学生の間で有名なのは、

だろう。これがちょっと難しいという人には、この内容をもう少し一般向けにしたものに、

がある。東大の授業ではこれを使っている先生もおられると記憶している。ただ、この本は、最後のJordan標準形のところは、付属の演習書のまえがきで筆者自身も認めているように単因子論をつかっていて、それはそれでいいだが、本の趣旨とはズレるところがある。特徴としては、掃き出し法を前面に押し出しているところ。

微積分学

トップに戻る

これも多すぎてなんともいえない。授業で指定されたものがあるのならそれを使うのがいいのだろう。昔から名著といわれているのは、

僕自身，この本はまだ数学書を読み始めて間もない頃に読んだ本なので思い入れがある．この本については好みが分かれるようだ。多くの方は、5章が面白いとおっしゃる。ある意味、この本は複素関数論を目標に書かれていて、微分方程式などにはほとんど触れられていないので、解析の本としては実は正統派ではないのかもしれない。最後についているルベーグ積分は、後から付け加えたもので、本の全体の流れの中ではやや異質だ。いつぞやの｢数学のたのしみ」に佐藤先生もそのようなことを書かれていた。僕が最初に読んだときには、一般論が面白くて、例の計算をするのが面倒に感じたのだが、むしろ最近は、例として出ているものが面白いと思うようになった。たとえば、β関数などは、定義を知っただけでは何も面白くないが、いろんなところに出てくるのを知ると理解が深まる。

この本は大昔に読んだものですが、ε-δ論法が非常に分かりやすく説明してある。数学に興味のある中高生、あるいはε-δ論法で困っている大学生にお勧めできる。

位相空間

トップに戻る

やたらと分厚い本はいくらでもあるが、いきなり一般論をやりすぎるよりは，ある程度具体的な設定で学んでからまた戻ってくる方が学びやすいように思う．

は非常に読みやすい。論文や本でよく引用されるのは、

です。

多様体

トップに戻る

幾何において基礎となる概念が多様体である．この標準的な本の一つが

数多くある多様体の入門書の中で、もっともやさしいといわれている本である（冗談かもしれないが，逆にこれがわからないとどうしようもないという話も？）。細かいところまで丁寧に書いてあって読みやすい。（個人的には微分形式のあたりとかは丁寧に書きすぎていてちょっと煩わしく感じたが。）ただ，この本であってもきちんと理解できている学生の方はかなり少ないというのもまたそうだと思う．

常微分方程式

トップに戻る

僕の記憶では常微分方程式の解の存在などは学部2年生の授業で取り扱っていたと思う．そういう意味でこれは基礎事項なのだと思う．この関連で僕の印象に残っているのは

この本は(特に理工系の本によくありがちな)微分方程式の特殊な解法の羅列をするのではなく、線形微分方程式に重点を置き、安定性などの議論や工学への応用まで記した興味深い本である。（ただし、線形代数を多少知っている人にとっては、前半の3分の1ぐらいは随分と退屈ではないかと思われる。）工学への応用では、蒸気機関や真空管の話があり、また最後の章ではlimit cycleの話など、力学系に近い話も書かれている。個人的には、もう少し最初のほうを簡潔にまとめるともっと読みやすいと思うのだが。

代数

群，環，体など

トップに戻る

代数系と呼ぶ名前で講義されていることもある分野であり，群，環，体と順に構造を足していって最後にガロア理論などを講義するのが主流のようだ．この構成はおそらく古典中の古典である

の頃からあまり変わっていないと思われる．もっと最近の本の日本語の本だと，例えば

があげられる．筆者はこのあたりはいろいろとつまみ食いして学んだのでどれを読んだのかはあまり覚えていないが，

は楽しく読んだ記憶がある．ただ，これらの教科書で学んだというよりは， むしろ，可換環論を勉強した時に遡及的に環，体の理解が深まったという方が当たっていると思う．

可換環論

トップに戻る

は、代数幾何への応用を意識して書かれている。簡潔でよい。可換環論そのものは、

が有名であり，この二冊は例えば代数幾何のHartshorneの教科書でもよく引用されている．なお，松村氏には日本語で

があるがこちらの方が英語版よりも詳しい．Noetherianであることを課すか課さないかなど，どこまで一般的にするかは好みの別れるところだが，僕のような「ユーザー」ならば最初からNoetherianを課しておいた場合だけ理解できればとりあえずはよいと思う．なお，英語版は時代を経て"Commutative Algebra"と"Commutative Ring Theory"が別に出版されているようで，後者の方が詳しいようだ．また"Commutative Algebra"はTeX化されたものが https://aareyanmanzoor.github.io/assets/matsumura-CA.pdfにおいて公開されている．

圏論

トップに戻る

近年は数学全体で圏論的手法がかなりメジャーになってきている．この分野の古典は

でこれは他の分野の数学をある程度知っていると例も豊富で楽しく読めるが，むしろ最近は圏論を早めの段階で学習する若者も増えていると思うのでもっと他の本の方がわかりやすいのかもしれない．

この本のある意味続編として，論理学との関係も扱ったのが

でありなかなか味わい深い． また近年では三角圏や導来圏の考え方も普及してきており，これらについては例えば

のそれぞれ第1章で勉強できる．またQuillenのモデル圏論については例えば

が基本文献だが，使うだけならばこれを読破する必要はないと思う． 最近は無限圏論も活躍する場が増えてきており，これについては

および同じ著者による"Higher Algebra" が基本文献である．HTTは長大なので一遍に読もうとすると挫折する可能性が高いが，少しずつ時間をかけて言葉に慣れていけば，記述自体は明快であるし，また細かいところを全て理解し切る必要はないかもしれないのでそれなりに活用できる本ではある．

リー環，リー群，表現論

トップに戻る

リー環の本の中でもっとも標準的なものは

で，僕は学生の時に輪講で読みました．これを読めばとりあえず古典的なLie環論は大丈夫でしょう。配列順がよいと思います。中盤は、｢初等的｣と称してやたらと複雑な証明をつけていて、本質が見えずらくなってしまっているように思う。かとおもえば、Lieの原論文から引いてきたらしいぐたぐたした計算を書いてみたりしていて、凝りすぎた感じもある。Cartan Subalgebraの代わりにmaximal toral subgroupを強調しているところなどに特徴もある。竹内外史さんの「リー代数と素粒子論」の種本でもある。

日本語では、有名どころとしては

がある。線形代数がわかれば問題なくいけそうです。Humphreysと似ているのでどちらか一方でいいかもしれない．他にブルバキのリー環も一部には人気があるようです．

物理の方からの入門として少し昔まで有名だったのは、

です。Lie環とLie群とのExpによる対応やLorentz群、球関数の話などもある。これだけでは不足と思うが、最初に読むにはいいのかもしれない。ちなみに、数学者と物理学者の共著となっているが、大部分を書いたのはどちらなのかは内容から明白である。物理的にも数学的にも明らかに不足しているが、入門書としてよい。内容がちょっと古めかしいのが気にはなる。その他，素粒子論に用いられるLie環については，

がプラグマティックな参考文献として貴重である。ただし、記号などに少し混乱が(といってももちろん著者は混乱していないだろうが)みられ、それほど読みやすくないと思うが、薄い本に本質が詰まっている。今同じような本を書けば、Affine Lie環とかVirasoro代数の話が入るので結構付けたすことが必要になると思う。（もっとも、そのような本はGeorgiは書かないだろうが。）

半単純Lie環の分類は数学の歴史に残る美しい結果の一つであるが，さらなる拡張の試みもなされている．例えば条件をゆるめての無限次元のaffine Lie環を議論できる．これについて最も標準的な文献は

でしょう。W先生などは、第1版のほうがよいといっておられたように記憶しているので、Birkhauser古い版を読むのももしかしたらいいのかもしれません。 日本語では谷崎さんが

を書かれました。この本は、Kacの本と違って、有限次元Lie環の知識がなくても読めるようになっていたと思う．個人的にはBocherds型のスーパーLie環の場合などを考えたことがあるので

はかなり参考にしたことがある．

代数幾何

トップに戻る

代数幾何の本については、いつぞやの「数学のたのしみ」の桂先生の記事も参考になります．

これは、高校生や大学1,2年ぐらいを対象にした、「入門書の入門書｣である。場所によっては、かなり丁寧に(しつこく)繰り返しをいとわず書かれている。現代数学に慣れた人はまどろっこしく感じるかもしれない。そう感じるようになったら本書は卒業か．取り扱っている内容は、意外と広い。ちなみにこの本は

に影響を受けたところが多いように見受けられる。この本は、最初に出たのが1951年となっているので、古典といってもよいだろうが、今日でもなお価値のある本である。前半が付値をつかった代数的理論、後半は解析的理論が述べてある。これは、ちょうど歴史に逆行するようになっているので、最初に読んだときは、付値のところが読みずらく感じられた。しかし、そこを乗り切れば、後はそんなに大変ではないと思う。

代数幾何については大雑把に代数から入るか幾何から入るかあると思うが，僕の感覚では代数から入る人が多いようだ．代数からだと

はスキーム論も取り扱っており最も標準的な本である。内容は非常に洗練されている。ただし、膨大な量の演習問題に、重要事項があったりするので、自習書向きではないのかもしれない。この本はGrothendieckのEGA（ http://modular.fas.harvard.edu/sga/から入手可能） のあんちょことして書かれた本である．EGAは数学を志すものにとっては憧れの本といってもいいでしょう。但しいきなり読むのは得策ではないかもしれません。非常に優秀な数学者で、この本を通読するのを途中で挫折した人を何人か知っているので、数学者を目指す人でも通読することにこだわることはないかと。辞書代わりに使うという手もあるだろう。確かに例えばHartshorneをちゃんと読もうとすると、どうしてもEGAあたりを参考にせざるを得ない部分もあります。EGAのI巻は書き直されたものがSpringerから出ていますが、私はあんまりありがたみを感じません。応用という意味では、寧ろSGA（例えば4と1/2とか）が必要になることが多いように思います。このほか日本語の本としては

も読んだことがあります．桂先生の本は，標準的な教科書への橋渡しを意識して書かれた本。

より幾何的なアプローチとしては

があげられる。応用を志す人は、代数から入るよりもこの本のように幾何から入った方がなじみやすいのではないだろうか。特に、弦理論で使うということを考えると、Hartshorneで勉強するよりも複素解析から出発してこの本で勉強した方がいいように思う。値段が高いのがやや難点。

上に書いた本を読めば代数幾何の基礎はマスターできるが，どうしても出てくる例が古典的な代数幾何由来になってしまうことが多いのでスキーム論のありがたみがあまりはっきりとはわからないことも多い．その点

は表現可能関手やもジュライ空間との関連を議論しており応用上重要です．

幾何

位相幾何

トップに戻る

単体複体を使ったsingular homologyによるトポロジーの入門としては、例えば

がかなり読みやすいです。

singular (co)homologyではなくde Rham (co)homologyを使った入門書に

があります。確かにde Rhamの方が分かりやすい所はあります。characteristic classes, homotopy theory, spectral sequenceなどについても親切な説明がついています。翻訳の方はあまり薦められない。

characteristic classesにtopologyの立場から入るには、

日本語の方は演習問題の解答つきの日本語訳が出版されました。また， https://aareyanmanzoor.github.io/assets/books/characteristic-classes.pdfの方からTeX化されたpdf fileが公開されています．

Milnorは著名な数学者であることは言うまでもないが，同時にその教科書はどれも魅力的だ．それらの中で多分最も薄くて予備知識が少ないのが

はやさしくてかつ本質を突いた良書です。あまり予備知識がなくてもPontragin constructionまで自然に理解できる。証明を簡略化するために細かいところに気を使っている。薄い本だが侮ってはいけない。

位相的不変量としてはホモロジーとホモトピーが重要で，これらは例えばBott-Tuの教科書にも書いてあるが，僕自身が最初にホモロージ代数を学んだのは

だった．

微分幾何

トップに戻る

微分幾何の入門書としては、

は、予備知識がほとんど要らないでしょう。Gauss-Bonnetの公式の証明がついています。私は旧版しか見ていないのですが、新版では極小局面のことが追加されたそうです。同じ著者による

は物理の学生も視野に入れて、Sheaf cohomologyとかを使わないようにしている。あくまでも微分幾何の立場からの入門書。多様体論を何らかの本で勉強していれば、読み始められる程度。慶応や東大での講義録も出版されているので、もしかしたらそれらのほうがわかりやすいかもしれない。Atiyah-Hitchin-Singerの"Self-Duality.."の予備知識として書いたものらしい。ただ私の経験ではこの本は余り読みやすくないように思う。この本でものすごく苦労したものが、他の本ではすんなりいったこともあった。より詳しく微分幾何のリファレンスとしては

がある．この本は自分が昔論文を書いたときにごく一部ではあるが参照して非常に役立ったことがあった．

Fiber fundleについては次の2冊を挙げておこう:

題名はFiber Bundlesとなっているが、Fiber Bundle/K-theory/Characteristic Classesの三本立てである。ほとんどいたるところにページ番号や定理番号の間違いが見られ、およそThird Editionとは思えない。あまりにそういう間違えが多いのでそのうち気にもならなくなる。このように体裁の問題はあるが、その内容はきわめて豊富であり、これほどの内容を纏め上げた（悪く言えば詰め込んだ）本は他にはなかなか見当たらないのではないだろうか。ホモトピーについて多少の知識を仮定している。欠点としては、あまりにFormalに過ぎて直観的な理解の助けにはならないことである。このようなタイプの本を読むことは大事だが、それだけに満足していてはいけないとも思う。和訳のほうが英語版より安いのは悩ましいことである。

幾何その他

トップに戻る

Symplectic幾何は解析力学の数学として現れる他，ミラー対称性の片側としても現れる．筆者は深谷圏の論文を書いていたりする割にはあまりこの分野そのものにあまりきちんと入門したことは ないが，

は僕にも読みやすい．

AtiyahはAtiyah-Macdonaldも有名だが，他に幾何や数理物理の分野で簡潔でわかりやすい本をいくつも書いている．その代表例がK理論についての本

で，こちらは予備知識があまりいらないいい本です。ただし読みやすくはないように感じる部分がところどころにあるように感じる。Bott periodicityの証明も載っています。（とはいっても、実際には殆どAtiyah-Bottの原論文どおりなのですが。）

Atiyah-Singerの指数定理については

あるいは熱核の方法を用いたものとしては

がある．この本とかなり重複したものとして，日本語で

がある。

3次元多様体・結び目

トップに戻る

結び目理論は現在3次元多様体論とほぼ一体となって発展している。結び目理論については

が世界的には恐らく最も標準的だろう。確か和訳も出ている。

日本語では結び目理論の研究がとても盛んなので日本語でもかなり色々なものが読める．僕が昔読んだのは

で，この本が出版されて間もない頃だった． は、題名の通りの内容をやさしく説明したものです。しかしLie環のところの説 明は、あまりにもまどろっこしいように感じます。最後には体積予想について言及されていて興味を持ったが，その時は自分が体積予想に関係した研究をするようになるは思わなかった．

低次元トポロジーはここ数十年で非常に盛んに研究されている分野である。先ず、3次元の方では、

が、面白くていいです。最後のほうには、量子不変量との関係や、体積予想のことなどホットな話題が書かれています。私はこの本に相当お世話になった。最初の方が簡単そうだからといって馬鹿にしてはいけない。非常に示唆的である。 ただし、証明の細部をほかの文献に依存しているので、ある程度ほかの本を読ん でから出ないと読みずらいと思う。また、ご存知のとうりPerelmanの仕事がその後に出たので、今書くとしたら全く違ったものになると思う。 3次元幾何については、ThustonのLecture Note "The Geometry and Topology of Three-Manifolds"（今やWeb上で入手可能）がいいのは確かですが， あれはいわゆる数学の教科書とは全然違う。このレクチャーはhttp://www.msri.org/publications/books/gt3m/で公開されていたが今はそこにはないようだ．Thurstonには似たようなタイトルで

もありこちらはきちんとした本の体裁になっているがカバーしている内容は限定的である．

3次元多様体や特にCasson不変量の関連を議論した本としては

が読んでいて面白い．

4次元多様体論

トップに戻る

4次元多様体論については、登竜門的な本として

がある．より本格的なDonaldson理論については、

が所謂Donaldson理論の基礎的な文献である。Kronheimerが加わったから読めるようになったという話もある。とてもいい本ではあるが、どうしても読むのに時間がかかってしまう．また日本語では

がある．Seidelが書いていたことでもあるが、若い人はSeiberg-Wittenから入ったりするので、寧ろこの本に書いてあるようなことを知らずに終わってしまうことも多いのかもしれない。そのSeiberg-Witten理論については

があげられる．

解析

関数解析・作用素環論

トップに戻る

僕自身は解析的な側面は実用に任せてhands-onで勉強していることが多いので 知っていることは限られている．学びはじめの頃に楽しく読んだのは

が、線形代数から関数解析へ至る道を描いていて楽しめる。この志賀先生の30講シリーズはかなりの名作なので，この本に限らずとてもお薦めです． 関数解析自体は僕は量子力学などのついでに学んだはずで，

を読んだ記憶がある．この本には、ほかの本に書いていないことが書いてあったと記憶している。昔々人に教えてもらった、思い出深い本です。

その他，特に量子力学への応用方面で関数解析の必要事項が必要になったときにリファレンスとして使うのに便利なのが

の三冊本である．

数理物理

可積分系

トップに戻る

可積分系は僕の専門分野であるが，その昔この分野に興味を持つようになったきっかけが

この本はどちらかというと量子群の本であるが，後半に可積分模型との関係が書かれている．非常によく書けた本であるが、計算は大変。 可解模型については、

があります。こちらはDoverでの廉価版が出版されています．神保先生は他にも

を書かれていてこちらはKdV方程式やその背後の佐藤理論を解説している．薄い本に見えるが実は結構難しい．

佐藤理論については、野海さんのとられた佐藤先生の講義録 ソリトン方程式と普遍グラスマン多様体がわかりやすく，かつインターネットでダウンロードできる． また、より本格的には、数理解析研究所の講究録（梅田さんがノートを取られたもの）がいいと思われます。あれは私も大部分に目を通しましたが、非常に特徴的な本です（いつぞやの岩波の月報に若山さんがこの本について書かれていました。）。実際に行われた講義のそのままの記録であるので、同じような内容が何度となく繰り返されるなどする部分も多々あるし、整理されていない部分もあるが、その分講師の気魄がひしひしと伝わってくる。TeX化する計画もあるようだが、どうなっているのだろうか。

場の理論の数学

トップに戻る

数学ではまず位相的な場の理論が盛んに研究されている．これは例えば3次元Chern-Simons理論が結び目や3次元多様体の不変量を与えるように，しばしば位相的量子不変量との関係で議論される．

2次元の共形場の理論の正則部分の代数的定式化を与えるのが頂点作用素代数である．これについては

が標準だろうか．

より一般に，位相的でも正則でもない場の理論にもいろいろ数学的なアプローチがるが，有名なのは

などであろう。

こちらは公理論的ににCPT定理、スピンと統計の関係などを議論した古典。より最近の因子化代数のアプローチについては

などがあるほか，Costelloによる摂動的有効場の理論へのアプローチとして

がある．

---

Last modified on Friday, 09-May-2025 18:03:22 JST
Copyright © 2002--2025 by Masahito YAMAZAKI. All rights reserved.