2020年度後期講義「幾何学XE／数物先端科学VIIII」（月曜日 10:25 〜 12:10）

目次

開講のお知らせ

授業の概要・目的

授業のキーワード

授業計画

• 量子展開環の定義と最高ウェイト加群
• 組み紐群の作用
• PBW基底
• 標準基底
• 箙の道代数とその表現を用いた量子展開環の構成

成績評価の方法・基準

教科書

参考書

• Hong-Kang, Introduction to quantum groups and crystal bases, GSM 42，AMS
• Jantzen, Lectures on quantum groups, GSM 6，AMS
• Lusztig, Introduction to quantum groups, Progress in Math. 110，Birkhauser

履修上の注意

その他

以前にした同内容の授業

9月28日にやったこと

• 生成元と関係式による表示
• (n+1)次元表現の構成
• Verma表現の構成
• (n+1)次元表現の既約性, 既約表現の分類
• ホップ代数の説明
• カシミール元
• ${\mathbf U}_q(\mathfrak{sl}_2)$ の有限次元表現の完全可約性

10月5日にやったこと

• ${\mathbf U}_q(\mathfrak{sl}_2)$ の普遍 $R$ 行列の構成

• Kac-Moody Lie 環の定義
• Serre 関係式と、$\mathrm{ad} f_i$ の表現としたときの有限次元性との関連の説明
• ルートの定義、正ルート
• ワイル群の定義

課題

• $\mathcal R$行列の計算の詳細を与えよ。
• $\mathcal R$行列を二次元既役表現とそれ自身のテンソル積のときに計算せよ。

10月12日にやったこと

• ワイルの部屋、最短表示
• 最長元の最短表示と、正ルートの集合の全順序
• 普遍展開環 ${\mathbf U}(\mathfrak{n}^+)$ の PBW 基底
• 量子展開環 ${\mathbf U}_q(\mathfrak{n}^+)$ の PBW 基底と標準基底についての、お話 （シラバスに書き忘れていたこと）

• ${\mathbf U}_q(\mathfrak{g})$ の定義
• bar involution の定義
• 表現のウェイト空間分解
• 最高ウェイト加群、Verma加群

課題

• 最長元の最短表示に付随した正ルートの集合 $\Delta^+$上の全順序が、凸性を持つことを示せ。
• 普遍展開環のPBW定理を証明せよ。
• 量子展開環の余積が定義関係式と compatible であることを証明せよ。

10月19日にやったこと

• 可積分表現
• 完全可約性
• $q=1$への特殊化

• ${\mathbf U}_q(\mathfrak{sl}_2)$ の可積分表現の場合
• ${\mathbf U}_q(\mathfrak{g})$ の可積分表現の場合
• $\operatorname{Ad}$ を用いた ${\mathbf U}_q(\mathfrak{g})$ への作用
• 随伴作用 $\operatorname{ad}$ による q-Serre 関係式と、$\operatorname{Ad}(T_i)(f_j)$ の理解

課題

• $(\exp_q X)^{-1} = \exp_{q^{-1}}(-X)$を証明せよ。
• $\mathfrak{sl}_2$の組紐作用素に関するProp. 1 の証明の詳細を与えよ。
• ${\mathrm Ad} T_i(x)$に関するTh. の証明の詳細を与えよ。

10月26日にやったこと

• $\operatorname{Ad}(T_i)(\operatorname{ad}(f_i^{(m)})(f_j) = \operatorname{ad}^*(f_i^{(-a_{ij}-m)})(f_j)$ 等の式
• $\operatorname{Ad}(T_i)^{-1} = \ast \operatorname{Ad}(T_i)\ast$
• $i\neq j$ に対して $a_{ij} a_{ji} = 0,1,2,3,{}^\ge 4$に応じて $h(i,j)=2,3,4,6,\infty$ とおく。$\operatorname{Ad}(\underbrace{\cdots T_i T_j}_{\text{$h(i,j)-1$項}})(f_i) = f_j$ or $f_i$

• 表示式 $s_i^2 = 1$, $(s_i s_j)^{h(i,j)} = 1$.
• 組紐群 $B_W$ を $\sigma_i$ を生成元とし, $\underbrace{\sigma_i \sigma_j \dots}_{\text{$h(i,j)$項}} = \underbrace{\sigma_j \sigma_i \dots}_{\text{$h(i,j)$項}}$ を関係式として、定義される群とする
• $w= s_{i_1} s_{i_2} \dots s_{i_k}$ を最短表示とするとき $\tilde w = \sigma_{i_1}\sigma_{i_2} \dots \sigma_{i_k}$ とおくと、最短表示の取り方によらない。
• $T_i$, $\operatorname{Ad}(T_i)$ は組紐群の関係式を満たす
• 以下 $\tilde w$ に対応する組紐作用素を $T_w$ で表す。

• $w(\alpha_i)\in\Delta^+$ のとき $T_w(f_i)\in\mathbf U_q^-$ となる。
• $w(\alpha_i) = \alpha_k$ のとき $T_w(f_i) = f_k$ となる

ノート

課題

• $a_{ij}=-3$のとき、Th.1 の証明を完成せよ。
• 階数 2 のリー環で$a_{ij}=-2, -3$のとき、最後の Prop. の証明を完成せよ。

11月2日にやったこと

• 証明の続き
• ワイル群の最長元 $w_0$ の最短表示 $s_{i_1}s_{i_2} \dots s_{i_\nu}$を取り固定する. （$\vec{h}$であらわす）
• $L(\vec{c},\vec{h}) = f_{i_1}^{(c_1)} T_{i_1}(f_{i_2}^{(c_2)}) \dots T_{i_1}T_{i_2} \dots T_{i_\nu-1}(f_{i_\nu}^{(c_\nu)})$とおく.
• $\vec{c} = (c_1,\dots,c_\nu)$ を動かすとき, $\{ L(\vec{c},\vec{h})\} $ は $\mathbf U_q^-$ の基底を定める. これを PBW 基底という.
• Levendroskii-Soibelman formula
• $T_w$ とテンソル積

しばらく $\mathfrak{sl}_3 = A_2$ とする。$\vec{h} = (121)$, $\vec{h}' = (212)$とし、対応するPBW基底 $\{ L(\vec{c},\vec{h})\}$, $\{ L(\vec{c}',\vec{h}')\}$ の間の基底の変換を考察する。

• $f_{12} = T_1(f_2)$, $f_{12}' = T_2(f_1)$ とおく。
• $$f_2^{(l)} f_1^{(m)} f_2^{(n)} = \sum_{k=0}^l q^{(l-k)(m-k)} \begin{bmatrix} l-k+n \\ l-k\end{bmatrix} f_1^{(m-k)} f_{12}^{(k)} f_2^{(l-k+n)}$$
• $$f_1^{(l)} f_2^{(m)} f_1^{(n)} = \sum_{k=0}^n q^{(n-k)(m-k)} \begin{bmatrix} n-k+l \\ n-k\end{bmatrix} f_1^{(n-k+l)} f_{12}^{(k)} f_2^{(m-k)}$$
• ${\mathbf B}(\infty) = \{ f_2^{(l)} f_1^{(m)} f_2^{(n)} \mid m\ge l+n\} \cup \{ f_1^{(l)} f_2^{(m)} f_1^{(n)} \mid m\ge l+n\}$ とおく。ただし、 $m=l+n$ の $f_2^{(l)} f_1^{(l+n)} f_2^{(n)} = f_1^{(n)} f_2^{(l+n)} f_1^{(l)}$ は共通部分となる。
• ${\mathbf B}(\infty)$ は $\mathbf U_q^-$ の基底をなす。（あとで一般の複素単純リー環に対して定義する標準基底）
• ${\mathbf B}(\infty)$で生成される $\mathbf U_q^-$の $\mathbb Z[q]$-部分加群、 $\{ L(\vec{c},\vec{h})\}$ で生成される $\mathbf U_q^-$の $\mathbb Z[q]$-部分加群、 $\{ L(\vec{c}',\vec{h}')\}$ で生成される $\mathbf U_q^-$の $\mathbb Z[q]$-部分加群は全て等しい。これを $\mathcal L_{\mathbb Z}(\infty)$ で表す。
• $\mathcal L_{\mathbb Z}(\infty)/q \mathcal L_{\mathbb Z}(\infty)$ に ${\mathbf B}(\infty)$, $\{ L(\vec{c},\vec{h})\}$, $\{ L(\vec{c}',\vec{h}')\}$が 誘導する$\mathbb Z$-基底は、すべて等しい。
• 基底の変換行列が誘導する $\vec{c} = (c_1,c_2,c_3)$, $\vec{c}' = (c_1',c_2',c_3')$ の変換は $$c_1' = c_2 + c_3 - \min(c_1,c_3), \quad c_2' = \min(c_1,c_3), \quad c_3' = c_1 + c_2 - \min(c_1,c_3)$$ という区分的線型写像で与えられる。

課題

• 命題の証明の途中で出てきた主張 $w\in W$ を $w = w' w^{\prime\prime}$ （$w^{\prime\prime}\in \langle s_i, s_j\rangle$）と、$l(w's_i) = l(w') + 1$, $l(w's_j) = l(w') + 1$, $l(w) = l(w') + l(w^{\prime\prime})$を満たすように分解できることを示せ。
• あとの方の補題で出てきた式 $f_2^{(l)} f_1^{(m)} = \sum_{k} q^{(l-k)(m-k)} f_1^{(m-k)} f_{12}^{(k)} f_2^{(l-k)}$を示せ。

11月9日にやったこと

• $\{ L(\vec{c},\vec{h})\}$ で生成される $\mathbf U_q^-$の $\mathbb Z[q]$-部分加群、 $\{ L(\vec{c}',\vec{h}')\}$ で生成される $\mathbf U_q^-$の $\mathbb Z[q]$-部分加群は等しい。これを $\mathcal L_{\mathbb Z}(\infty)$ で表す。
• $\mathcal L_{\mathbb Z}(\infty)/q \mathcal L_{\mathbb Z}(\infty)$ に $\{ L(\vec{c},\vec{h})\}$, $\{ L(\vec{c}',\vec{h}')\}$が 誘導する$\mathbb Z$-基底は、等しい。

§ $\mathbf U_q^-$の内積

• ${}^\prime \mathbf U_q^-$ を q-Serre関係式を除いた自由代数とする。
• ${}^\prime \mathbf U_q^-\otimes {}^\prime \mathbf U_q^-$に、捻れた積 $$(x_1\otimes x_2)\cdot (x_1'\otimes x_2') = q^{-(\operatorname{wt}x_2,\operatorname{wt}x_1')} x_1x_1' \otimes x_2 x_2'$$ を導入し、$r: {}^\prime \mathbf U_q^-\to {}^\prime \mathbf U_q^-\otimes {}^\prime \mathbf U_q^-$ を $r(f_i) = f_i\otimes 1 + 1\otimes f_i$ を代数の準同型として伸ばしたものとする。
• 次の性質を満す${}^\prime \mathbf U_q^-$上の$\mathbb Q(q)$-値双線型形式 $(\ ,\ )$が唯一つ存在する。
  • $(f_i, f_j) = \frac{\delta_{ij}}{1- q_i^2}$
  • $(x,yy') = (r(x), y\otimes y')$
  • $(xx',y) = (x\otimes x', r(y))$
  さらに、これは対称である。
• $r(\operatorname{ad}^*(f_i^{(1-a_{ij})})(f_j)) = 1\otimes \operatorname{ad}^*(f_i^{(1-a_{ij})})(f_j) + \operatorname{ad}^*(f_i^{(1-a_{ij})})(f_j)\otimes 1$ が成り立ち、$r$ は $\mathbf U_q^-\to \mathbf U_q^-\otimes \mathbf U_q^-$ を引き起こす。
• 対称双線型形式 $(\ ,\ )$ は$\mathbf U_q^-$に落る。
• $(x,y) = (x^*, y^*)$
• ${}_ir$, $r_i$ の定義
• $(f_iy,x) = (f_i,f_i) (y, {}_ir(x))$, $(yf_i,x) = (f_i,f_i)(y, r_i(x))$ が成り立つ。
• $$ e_i x - x e_i = \frac{r_i(x) t_i - t_i^{-1} {}_i r(x)}{q_i - q_i^{-1}}$$
• $\bigcap_i \operatorname{Ker} {}_i r = \mathbb Q(q) 1 = \bigcap_i \operatorname{Ker} r_i$
• $(\ ,\ )$ は非退化である。

課題

• Prop. 1（3）の証明の step 2 を完成せよ。
• Lemma 3 の証明を与えよ。
• Lemma 7 の証明の step 2 を完成せよ。

11月30日にやったこと

まず、前回までの復習を行った

• $\mathbf U_q^-[i]$, ${}^*\mathbf U_q^-[i]$ の定義
• $\mathbf U_q^-[i] = \mathbf U_q^-\cap T_i\mathbf U_q^- = \operatorname{Ker}{}_i r$
• $\mathbf U_q^- = \mathbf U_q^-[i]\oplus f_i \mathbf U_q^-$ の直交性
• $x,y\in\mathbf U_q^-[i]$ のとき、$(x,y) = (T_i^{-1}(x), T_i^{-1}(y))$ が成り立つ。
• PBW基底は直交基底である。 $$(L(\vec{c},\vec{h}), L(\vec{d},\vec{h}))= \delta_{\vec{c},\vec{d}} \prod_{p=1}^\nu \prod_{d=1}^{c_p} \frac1{1 - q_{i_p}^{2d}}$$ が成り立つ。

• $\mathbb A_0 = \{ f\in \mathbb Q(q) \mid \text{$f$ is regular at $q=0$}\}$ とおく。$\mathbb Z[q]$ の類似である。
• 11月9日の定理の類似として、$\mathbb A = \mathbb Z[q,q^{-1}]$, ${}_{\mathbb A} \mathbf U_q^-$ を $f_i^{(n)}$ で生成される $\mathbb A$-部分代数としたときに
  • $${}_{\mathbb A} \mathbf U_q^- = \bigoplus \mathbb A L(\vec{c},\vec{h})$$
• という主張を考える。これが階数 $2$ の Lie 部分環について正しいとすると、$\mathfrak{g}$ についても成り立つ。
• $A_2$ 型のときには、11月2日にチェックしていて正しいので、ADE 型のときには正しい。
• $B_2$, $G_2$ 型のときに正しいことは、比較的簡単に証明できるので、一般のときにも正しい。（$G_2$ 型は Xi: On PBW bases of the quantum group $U_v(G_2)$, Alg. Colloq. 2 （1995）で示されている）
• 以下では、これを認めるので、上の主張は一般の $\mathfrak{g}$ で正しいとする。
• $\mathcal L(\infty) = \{x\in \mathbf U_q^- \mid (x,x)\in\mathbb A_0\}$ とおく。これは、$\{ L(\vec{c}, \vec{h}) \}$ で生成される $\mathbb A_0$ 部分加群に等しい。
• $x\in {}_{\mathbb A} \mathbf U_q^-$ が $(x,x) - 1 \in q\mathbb A_0$ を満たすとすると、$x\equiv \pm L(\vec{c},\vec{h})$ mod $q\mathcal L(\infty)$ となる $\vec{c}$ がある。
• $\mathcal L(\infty)$ は内積で決められているので、$w_0$ の最短表示の取り方にはよらない。これは、11月9日に説明したことの弱い形の主張である。
• また、下の主張も内積のみでstate されているので、$\mathcal L(\infty)/q \mathcal L(\infty)$ に誘導される基底は、$\pm$ を除いて、最短表示の取り方にはよらないことも分かる。

§標準基底

• bar involution $\overline{\ }$ を考える。これを PBW 基底で行列表示すると、upper unitriangular である。すなわち $$\overline{L(\vec{c},\vec{h})} = L(\vec{c},\vec{h}) + \sum_{\vec{d}>\vec{c}} a_{\vec{d}} L(\vec{d},\vec{h})$$ となる。
• ここで、$\vec{d} > \vec{c}$ の順序 $>$ は成分をはじめから読む辞書式順序である。

課題

• Lemma 2 （1）を $\mathfrak{sl}(2)$ による具体的な計算でチェックせよ。

12月7日にやったこと

• 標準基底 $\{ b(\vec{c},\vec{h})\}$ の定義と存在
  • $\overline{b(\vec{c},\vec{h})} = b(\vec{c},\vec{h})$
  • $L(\vec{c},\vec{h}) = b(\vec{c},\vec{h}) + \sum_{\vec{d} > \vec{c}} a_{\vec{d}} b(\vec{d},\vec{h})$ with $a_{\vec{d}}\in q\mathbb Z[q]$.
• $ADE$型のときは、$\mathcal B(\infty) = \{ b(\vec{c},\vec{h})\}$ は $w_0$ の最短表示 $\vec{h}$ の取り方によらない
• 区分的線形変換による、基底のパラメトリゼーションの変換
• 内積を用いた、signed canonical base $\widetilde{\mathcal B}(\infty) = \{ \pm b(\vec{c},\vec{h})\}$ の特徴づけ
• $BCFG$ 型でも signed canonical base は、$\vec{h}$ の取り方によらない
• $\ast$ で、signed canoincal base は保たれる。

§表現の標準基底

• $\varepsilon_i(b)$, $\varepsilon_i^*(b)$ の定義
• $b = b(\vec{c},\vec{h})$ で、$\vec{h}$ が $i$ から始まるとき、$\varepsilon_i(b) = c_1$.
• $\{ b\in\widetilde{\mathcal B}(\infty) \mid \varepsilon_i(b) \ge n \}$ は、$f_i^n \mathbf U_q^-$ の signed base
• $\lambda$ を支配的な整ウェイトとし、 $V(\lambda)$ を対応する有限次元既約表現とする。$V(\lambda) = \mathbf U_q^-/I_\lambda$, $I_\lambda = \sum_i \mathbf U_q^- f_i^{\langle \lambda,h_i\rangle+1}$ であった。 $$\widetilde{\mathcal B}(\lambda) = \{ b\bmod I_\lambda \mid \varepsilon_i^*(b) \le \langle\lambda,h_i\rangle \forall i\}$$ とおくと、$V(\lambda)$ の signed base である。
• 柏原作用素 $\tilde{e}_i$, $\tilde{f}_i$ の定義
• $i$ から始まる $w_0$ の最短表示を取ると、$\tilde{e}_i$, $\tilde{f}_i$ は、$c_1$ を $\mp 1$ するものになる。
• $\widetilde{\mathcal B}(\infty) = \{ \pm \tilde{f}_{i_1}\tilde{f}_{i_2}\dots \tilde{f}_{i_p} 1 \mid p\in\mathbb Z_{\ge 0}, i_1,\dots, i_p\in I \}$ となる。
• $\widetilde{\mathcal B}(\infty)$, $\tilde{e}_i$, $\tilde{f}_i$ は、表現論の組み合わせ論的な`骨'を与える。

課題

• $\mathfrak g = A_2$ のとき $\varepsilon_1$, $\varepsilon_2(b)$ を計算せよ。
• `小さな' $\lambda$ について、$\widetilde{\mathcal B}(\lambda)$ を計算せよ。
• $\tilde{e}_i$, $\tilde{f}_i$ を表現の標準基底 $\widetilde{\mathcal B}(\lambda)$ について、`小さな' $\lambda$ について計算せよ。

12月14日にやったこと

§箙とその表現

• 箙の表現
• 道代数
• $\mathbf E_Q(V) = \bigoplus_{h\in Q_1} \mathrm{Hom}(V_{o(h)}, V_{i(h)})$, $GL_Q(V) = \prod_{i\in Q_0} GL(V_i)$
• 既約表現、直既約表現
• 既約表現 $S_i$
• Krull-Schmidt定理
• 有限型
• Gabrielの定理：有限型であることは、underlying な unoriented graph が Dynkin ADE 型であることと同値。さらに、有限型のとき、直既約表現は、次元ベクトルを考えることで、正ルートと一対一に対応する。
• Tits 形式の正値性

§反射関手

• sink, source
• $\Phi_i^+$, $\Phi_i^-$ の定義
• 分裂する短完全列 $$0 \to \Phi_i^-\Phi_i^+(V,B)\to (V,B) \to (V,B)(i) \to 0$$
• $(V,B)$ が直既約とすると、$\Phi_i^+(V,B)$ が直既約であるか、もしくは $(V,B)\cong S_i$ のいずれかが成り立つ。また、前者のとき $\dim \Phi^+(V,B) = s_i \dim (V,B)$ となる。ここで、$s_i$ は、頂点 $i$ に対応する単純鏡映である。

12月21日にやったこと

• $Q$に adapted な $w_0$の最短表示 $\vec{h}$
• adapted な $w_0$の最短表示 $\vec{h}$ があれば、Gabrielの定理が従う。
• $p > q$ のとき $\operatorname{Hom}_{kQ}(\Phi^-_{i_1}\dots\Phi^-_{i_{p-1}}(S_{i_p}), \Phi^-_{i_1}\dots\Phi^-_{i_{q-1}}(S_{i_q})) = 0$ が成り立つ。
• Coxeter element, Coxeter数
• adapted な $w_0$の最短表示 $\vec{h}$は存在する。したがって、Gabrielの定理の証明が完了した。

§箙の表現論について

oriented cycle はないと仮定する。

• $\{ S_i\}_{i\in Q_0}$ は、単純加群の同型類の完全代表系
• アーベル圏 $\mathcal C$ のGrothendieck群 $K(\mathcal C)$
• $K(\operatorname{Rep}_k Q) = \mathbb Z^{Q_0}$
• 射影加群
• $P(i) = i$から出発する path の生成する表現
• $\{ P(i)\}_{i\in Q_0}$ は直既役射影加群の同型類の完全代表系
• 表現$M = (V,B)$ の射影分解 $$ 0 \to \bigoplus_{h\in Q_1} P(i(h))\otimes kh \otimes V_{o(h)} \xrightarrow{d_1} \bigoplus_{i\in Q_0} P(i)\otimes V_i \xrightarrow{d_0} V \to 0$$ $$ d_0(p\otimes v) = pv, \quad d_1(p\otimes h\otimes v) = ph\otimes v - p\otimes B_h v$$
• $\operatorname{Ext}^i(M,N)$
• $\operatorname{Ext}^i(M,N) = 0$ if $i > 1$ （hereditary）
• Tits form $\langle M,N\rangle = \sum_i (-1)^i \dim \operatorname{Ext}^i(M,N)$
• $K(\operatorname{Rep}_k Q)$ に落ち、$\sum \dim M_i \dim N_i - \sum \dim M_{o(h)} \dim N_{i(h)}$ で与えられる。
• カルタン行列は $\langle S_i, S_j\rangle_Q + \langle S_i, S_j\rangle_{\overline{Q}}$ で与えられる。ただし、$\overline{Q}$ は $Q$ の辺の向きを逆にした箙

1月4日にやったこと

• $\mathcal H$ の定義
• 結合律を満たす
• $A_1$-quiverの場合
• twisted multiplication
• $A_2$-quiverの場合の計算 -- q-セール関係式
• twisted Ringel-Hall代数は ${}_{\mathbb A} \mathbf U_q^-$と同型である。
• $i$をsinkとしたとき $\mathcal H_i^+$ の定義、$i$をsourceとしたとき $\mathcal H_i^-$ の定義
• 可換図式 $$\begin{array}{ccc} {}_{\mathbb A} \mathbf U_q^- & \xrightarrow{\cong} & \mathcal H\\ \cup && \cup \\ \overline{{}_{\mathbb A}\mathbf U_q^-[i]} & \xrightarrow{\cong} & \mathcal H_i^+ \\ \overline{T_i}^{-1}\downarrow\cong && {\cong}\downarrow q^{-(\alpha_i,\dim\bullet)}\Phi_i^+ \\ \overline{{}_{\mathbb A}^*\mathbf U_q^-[i]} & \xrightarrow[\cong]{} & \mathcal H_i^-\end{array}$$
• PBW基底は、Ringel-Hall代数の表現の同型類のなす基底に対応する。

1月7日にやったこと

ノート