Loading [MathJax]/jax/output/HTML-CSS/fonts/TeX/AMS/Regular/Main.js
2021年度数学続論XD, 基礎数理特別講義III「幾何学的表現論」
(4月7日水曜日 10:25 ~ 12:10)
授業のzoom URLは、itc-lmsで見てください。*.u-tokyo.ac.jp のアカウントでサインインしている人のみ入室できます。
目次
開講のお知らせ
4月7日
4月14日
4月21日
4月28日
5月12日
5月19日
5月26日
6月9日
6月16日
6月23日
6月30日
7月7日
7月14日
開講のお知らせ
授業の概要・目的
複素単純 Lie環の普遍展開環や、その変種の表現の指標公式を、幾何学的に合成積代数を用いて示す手法について、いくつかの例で解説する。
授業のキーワード
指標公式、合成積代数
授業計画
幾何学的に構成される合成積代数とその表現論について、次のような例を扱う予定である。
まず、表現の圏が半単純になる
- Springer representations of Weyl groups
- quiver varieties and Kac-Moody Lie algebras
を扱う。幾何学的には、semi-small な特異点解消になっている場合である。次にトーラス作用がある空間について、
- Kazhdan Lusztig conjectures on representations of Lie algebras via zastava spaces
- quantization of Coulomb branches
を取り扱う。その準備として、
- 幾何学的佐武対応
- quiver Hecke algebras and Lusztig's canonical bases
成績評価の方法・基準
講義の途中に提出される問題を解答し、レポートとして提出する。* の付いた問題は、やや手応えがある問題で、** の付いた問題は難しいと思われる。
教科書
なし
参考書
- Chriss-Ginzburg, Representation theory and Complex Geometry, Birkhaeser, ISBN:0817649379
- Hotta-Takeuchi-Tanisaki, D-Modules, Perverse Sheaves, and Representation Theory, Progress in Mathematics, Birkhauser
履修上の注意
サーベイ形式の講義であり、self-contained ではない。
4月7日
ノート
4月14日
ノート
課題
- \Bbbkを有限体としてG=GL_n(\Bbbk) とする。n = n_1 + \dots + n_\ell と分けたときに、n\times n 行列のブロック分けを考え、ブロック上三角可逆行列の全体を P とする。ヘッケ環 H(G,P) を求めよ。
- * 昨年度の授業(1月4日)で出てきた Ringel-Hall代数 H を Jordan quiver で、べき零な表現の場合に計算せよ。
- * \Bbbk を有限体とするときに、\mathcal K = \Bbbk((z)), \mathcal O = \Bbbk[[z]] とする。G = GL_n(\mathcal K), H = GL_n(\mathcal O) としたときのHecke algebrea を計算せよ。
- ** Kazhdan-Lusztig予想の新たらしい証明を与えよ。
4月21日
ノート
課題
- X を Lie環 \mathfrak{sl}_2 のうちの固有値が 0 でないものの全体とする。M を \{ (x,S)\in X\times \mathbb P^1 \mid x(S)\subset S\} とおき、\pi: M\to X を第一成分への射影とする。ファイバー積 Z = M\times_X M を考える。M の実次元である、6 次のボレル・ムーア・ホモロジー H_6(Z) を考える。これに合成積を入れたものを計算せよ。また、x\in X に対して、表現 H_0(\pi^{-1}(x)) を求めよ。
- * \Bbbkを有限体とし、G=GL_n(\Bbbk) とし、0\le k\le n に対して、P_k をブロックサイズ k, (n-k) の上三角行列全体とする。ヘッケ環の類似 \bigoplus_{k_1,k_2=0}^n F[G/P_{k_1} \times G/P_{k_2}]^G の上に合成積を定義する。量子展開環 \mathbf U_q(\mathfrak{sl}_2) と関連させて、この合成積代数を決定せよ。\mathbf U_q(\mathfrak{sl}_2)については、昨年度の授業の9月28日を参照せよ。
4月28日
ノート
課題
- ノート p.8 の補題, p.11の主張の証明を与えよ。
- \mathbf U(\mathfrak{sl}_2)\to H_{[0]}(Z) において、x=0のファイバー \pi^{-1}(0) のホモロジーの定める \mathfrak{sl}_2 の表現を考える。\pi^{-1}(0) = \bigsqcup_{0\le n\le l} G(n,l) であったが、基本類 [G(n,l)]\in H_{[0]}(\pi^{-1}(0)) を考える。このとき [G(n,l)] = \frac{F^n}{n!} [G(0,l)] を示せ。
5月12日
ノート
5月19日
ノート
degenerate affine Hecke 代数 H_{\mathrm{deg}} と convolution 代数の同型の同型の説明の追加
- 多項式表現がそれぞれの代数について faithful であること、H_{\mathrm{deg}} の生成元 x_j, \sigma_i の像が convolution代数の像に含まれていることから、convolution代数が H_{\mathrm{deg}} を含むことが従う。
- H_{\mathrm{deg}} にしかるべく filtration \{ H_{\mathrm{deg}}^{\le w}\}_w を入れる。convolution 代数の filtration と compatible になるようにする。
- H_{\mathrm{deg}}^{\le w}/ H_{\mathrm{deg}}^{< w} が convolution 代数の場合と同じ大きさであることをチェックし、帰納的に H_{\mathrm{deg}} と convolution 代数が同型であることが従う。
課題
- *Springer fiber \pi^{-1}(x) の既約成分の個数を求めよ。
- *H_{[0]}(\pi^{-1}(x)) が Specht 加群と同型であることを示せ。
- 上の同型の議論の詳細をチェックせよ。
- ノートの p.5 に出てきた Prop. の証明を与えよ。
5月26日
ノート
6月9日
ノート
課題
- ノートの p.11 に出てきた図式の可換性の証明を与えよ。
6月16日
ノート
6月23日
ノート
6月30日
ノート
7月7日
ノート
7月14日
ノート
このページの数式は, mathjaxを用いて書かれています
メールアドレス