2021年度数学続論XD, 基礎数理特別講義III「幾何学的表現論」 （4月7日水曜日 10:25 〜 12:10）

目次

開講のお知らせ

授業の概要・目的

授業のキーワード

授業計画

1. Springer representations of Weyl groups
2. quiver varieties and Kac-Moody Lie algebras

3. Kazhdan Lusztig conjectures on representations of Lie algebras via zastava spaces
4. quantization of Coulomb branches

5. 幾何学的佐武対応
6. quiver Hecke algebras and Lusztig's canonical bases

成績評価の方法・基準

教科書

参考書

• Chriss-Ginzburg, Representation theory and Complex Geometry, Birkhaeser, ISBN:0817649379
• Hotta-Takeuchi-Tanisaki, D-Modules, Perverse Sheaves, and Representation Theory, Progress in Mathematics, Birkhauser

履修上の注意

4月7日

4月14日

課題

1. $\Bbbk$を有限体として$G=GL_n(\Bbbk)$ とする。$n = n_1 + \dots + n_\ell$ と分けたときに、$n\times n$ 行列のブロック分けを考え、ブロック上三角可逆行列の全体を $P$ とする。ヘッケ環 $H(G,P)$ を求めよ。
2. ^* 昨年度の授業（1月4日）で出てきた Ringel-Hall代数 $H$ を Jordan quiver で、べき零な表現の場合に計算せよ。
3. ^* $\Bbbk$ を有限体とするときに、$\mathcal K = \Bbbk((z))$, $\mathcal O = \Bbbk[[z]]$ とする。$G = GL_n(\mathcal K)$, $H = GL_n(\mathcal O)$ としたときのHecke algebrea を計算せよ。
4. ^** Kazhdan-Lusztig予想の新たらしい証明を与えよ。

4月21日

課題

1. $X$ を Lie環 $\mathfrak{sl}_2$ のうちの固有値が $0$ でないものの全体とする。$M$ を $\{ (x,S)\in X\times \mathbb P^1 \mid x(S)\subset S\}$ とおき、$\pi: M\to X$ を第一成分への射影とする。ファイバー積 $Z = M\times_X M$ を考える。$M$ の実次元である、$6$ 次のボレル・ムーア・ホモロジー $H_6(Z)$ を考える。これに合成積を入れたものを計算せよ。また、$x\in X$ に対して、表現 $H_0(\pi^{-1}(x))$ を求めよ。
2. ^* $\Bbbk$を有限体とし、$G=GL_n(\Bbbk)$ とし、$0\le k\le n$ に対して、$P_k$ をブロックサイズ $k$, $(n-k)$ の上三角行列全体とする。ヘッケ環の類似 $\bigoplus_{k_1,k_2=0}^n F[G/P_{k_1} \times G/P_{k_2}]^G$ の上に合成積を定義する。量子展開環 $\mathbf U_q(\mathfrak{sl}_2)$ と関連させて、この合成積代数を決定せよ。$\mathbf U_q(\mathfrak{sl}_2)$については、昨年度の授業の9月28日を参照せよ。

4月28日

課題

1. ノート p.8 の補題, p.11の主張の証明を与えよ。
2. $\mathbf U(\mathfrak{sl}_2)\to H_{[0]}(Z)$ において、$x=0$のファイバー $\pi^{-1}(0)$ のホモロジーの定める $\mathfrak{sl}_2$ の表現を考える。$\pi^{-1}(0) = \bigsqcup_{0\le n\le l} G(n,l)$ であったが、基本類 $[G(n,l)]\in H_{[0]}(\pi^{-1}(0))$ を考える。このとき $[G(n,l)] = \frac{F^n}{n!} [G(0,l)]$ を示せ。

5月12日

5月19日

degenerate affine Hecke 代数 $H_{\mathrm{deg}}$ と convolution 代数の同型の同型の説明の追加

• 多項式表現がそれぞれの代数について faithful であること、$H_{\mathrm{deg}}$ の生成元 $x_j$, $\sigma_i$ の像が convolution代数の像に含まれていることから、convolution代数が $H_{\mathrm{deg}}$ を含むことが従う。
• $H_{\mathrm{deg}}$ にしかるべく filtration $\{ H_{\mathrm{deg}}^{\le w}\}_w$ を入れる。convolution 代数の filtration と compatible になるようにする。
• $H_{\mathrm{deg}}^{\le w}/ H_{\mathrm{deg}}^{< w}$ が convolution 代数の場合と同じ大きさであることをチェックし、帰納的に $H_{\mathrm{deg}}$ と convolution 代数が同型であることが従う。

課題

1. ^*Springer fiber $\pi^{-1}(x)$ の既約成分の個数を求めよ。
2. ^*$H_{[0]}(\pi^{-1}(x))$ が Specht 加群と同型であることを示せ。
3. 上の同型の議論の詳細をチェックせよ。
4. ノートの p.5 に出てきた Prop. の証明を与えよ。

5月26日

6月9日

課題

1. ノートの p.11 に出てきた図式の可換性の証明を与えよ。

6月16日

6月23日

6月30日

7月7日

7月14日